Номер 1179, страница 362 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Упражнения к главе 12 - номер 1179, страница 362.

Условие.

1179 В коробке лежат 6 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события:

1) оба шара белые;

2) оба шара чёрные;

3) один шар белый, другой чёрный;

4) по крайней мере один шар белый;

5) по крайней мере один шар чёрный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В коробке находится $6$ белых и $7$ чёрных шаров, всего $6 + 7 = 13$ шаров.

Общее число способов вынуть 2 шара из 13 — это число сочетаний из 13 по 2. Рассчитаем его:

$n = C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13!}{2!11!} = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78$.

Таким образом, общее число исходов $n = 78$.

1) оба шара белые;

Событие заключается в том, что оба вынутых шара — белые. Число способов выбрать 2 белых шара из 6 имеющихся равно числу сочетаний из 6 по 2:

$m_1 = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$.

Вероятность этого события:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{15}{78} = \frac{5}{26}$.

Ответ: $P_1 = \frac{5}{26}$.

2) оба шара чёрные;

Событие заключается в том, что оба вынутых шара — чёрные. Число способов выбрать 2 чёрных шара из 7 имеющихся равно числу сочетаний из 7 по 2:

$m_2 = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$.

Вероятность этого события:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{21}{78} = \frac{7}{26}$.

Ответ: $P_2 = \frac{7}{26}$.

3) один шар белый, другой чёрный;

Событие заключается в том, что вынут один белый и один чёрный шар. Число способов выбрать 1 белый шар из 6 равно $C_6^1=6$. Число способов выбрать 1 чёрный шар из 7 равно $C_7^1=7$. По правилу произведения, число благоприятных исходов равно:

$m_3 = C_6^1 \cdot C_7^1 = 6 \cdot 7 = 42$.

Вероятность этого события:

$P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{42}{78} = \frac{7}{13}$.

Ответ: $P_3 = \frac{7}{13}$.

4) по крайней мере один шар белый;

Событие "по крайней мере один шар белый" является противоположным событию "оба шара чёрные". Вероятность противоположного события $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Вероятность того, что оба шара чёрные, мы уже нашли в пункте 2: $P_2 = \frac{7}{26}$.

Следовательно, вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, равна:

$P_4 = 1 - P_2 = 1 - \frac{7}{26} = \frac{19}{26}$.

Альтернативный способ: это событие означает, что либо один шар белый и один чёрный (вероятность $P_3$), либо оба шара белые (вероятность $P_1$).

$P_4 = P_1 + P_3 = \frac{15}{78} + \frac{42}{78} = \frac{57}{78} = \frac{19}{26}$.

Ответ: $P_4 = \frac{19}{26}$.

5) по крайней мере один шар чёрный.

Событие "по крайней мере один шар чёрный" является противоположным событию "оба шара белые".

Вероятность того, что оба шара белые, мы нашли в пункте 1: $P_1 = \frac{5}{26}$.

Следовательно, вероятность того, что хотя бы один шар будет чёрным, равна:

$P_5 = 1 - P_1 = 1 - \frac{5}{26} = \frac{21}{26}$.

Альтернативный способ: это событие означает, что либо один шар белый и один чёрный (вероятность $P_3$), либо оба шара чёрные (вероятность $P_2$).

$P_5 = P_2 + P_3 = \frac{21}{78} + \frac{42}{78} = \frac{63}{78} = \frac{21}{26}$.

Ответ: $P_5 = \frac{21}{26}$.