Номер 1183, страница 363 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Упражнения к главе 12 - номер 1183, страница 363.

Условие.

1183 Два мальчика играют в игру крестики-нолики на поле $3 \times 3$. Первый случайным образом ставит в одну клетку крестик, второй случайным образом ставит нолик в одну из оставшихся 8 клеток. Найти вероятность того, что после этих ходов будут заняты заранее зафиксированные наблюдателем две клетки поля. Решить задачу двумя способами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть на поле 3x3, состоящем из 9 клеток, наблюдатель заранее зафиксировал две клетки. Обозначим их как Клетка 1 и Клетка 2. Нам нужно найти вероятность того, что после первого хода крестиком и второго хода ноликом эти две клетки окажутся занятыми.

Первый способ (используя классическое определение вероятности)

Согласно классическому определению, вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.

1. Найдем общее число элементарных исходов (N).
Первый мальчик ставит крестик в любую из 9 клеток. У него есть 9 вариантов выбора.
После этого второй мальчик ставит нолик в любую из оставшихся 8 клеток. У него есть 8 вариантов выбора.
Так как нам важна и позиция, и какой символ в ней стоит (крестик или нолик), мы рассматриваем упорядоченные пары клеток (клетка для крестика, клетка для нолика).
Общее число всех возможных исходов игры после двух ходов равно произведению числа вариантов для каждого хода: $N = 9 \times 8 = 72$.

2. Найдем число благоприятных исходов (M).
Благоприятный исход — это ситуация, когда заняты именно две заранее зафиксированные клетки (Клетка 1 и Клетка 2).
Это может произойти двумя способами:
- Крестик поставлен в Клетку 1, а нолик — в Клетку 2. Это один конкретный исход.
- Крестик поставлен в Клетку 2, а нолик — в Клетку 1. Это второй конкретный исход.
Таким образом, существует всего два исхода, которые нас устраивают.
$M = 2$.

3. Найдем искомую вероятность (P).
Вероятность события вычисляется по формуле: $P = \frac{M}{N} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$.

Второй способ (используя теорему умножения вероятностей)

Рассмотрим наступление нужного нам события поэтапно. Пусть событие $A$ заключается в том, что две зафиксированные клетки (Клетка 1 и Клетка 2) заняты.

Это может произойти двумя несовместными путями:
- Событие $A_1$: первый игрок ставит крестик в Клетку 1, а второй — нолик в Клетку 2.
- Событие $A_2$: первый игрок ставит крестик в Клетку 2, а второй — нолик в Клетку 1.

Вероятность искомого события $A$ равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий: $P(A) = P(A_1) + P(A_2)$.

1. Найдем вероятность события $A_1$.
Вероятность того, что первый игрок поставит крестик в Клетку 1, равна $\frac{1}{9}$ (одна нужная клетка из девяти).
После этого на поле останется 8 свободных клеток. Вероятность того, что второй игрок поставит нолик именно в Клетку 2, равна $\frac{1}{8}$.
Событие $A_1$ является произведением этих двух независимых в рамках последовательности событий, поэтому его вероятность равна: $P(A_1) = \frac{1}{9} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{72}$.

2. Найдем вероятность события $A_2$.
Аналогично, вероятность того, что первый игрок поставит крестик в Клетку 2, равна $\frac{1}{9}$.
Вероятность того, что второй игрок после этого поставит нолик в Клетку 1, равна $\frac{1}{8}$.
Вероятность события $A_2$: $P(A_2) = \frac{1}{9} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{72}$.

3. Найдем искомую вероятность $P(A)$.
Сложим вероятности несовместных событий $A_1$ и $A_2$: $P(A) = P(A_1) + P(A_2) = \frac{1}{72} + \frac{1}{72} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$.