Номер 1178, страница 362 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Упражнения к главе 12 - номер 1178, страница 362.

Условие.

1178 В коробке лежат 5 белых и 6 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события:

1) оба шара белого цвета;

2) оба шара чёрного цвета;

3) один шар белый, другой чёрный;

4) по крайней мере один шар белый;

5) по крайней мере один шар чёрный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

В коробке находится всего $5 + 6 = 11$ шаров. Задача состоит в том, чтобы найти вероятность различных событий при вынимании наугад 2 шаров.

Общее число способов выбрать 2 шара из 11 равно числу сочетаний из 11 по 2. Это общее число равновозможных исходов.

$N = C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.

1) оба шара белого цвета

Для наступления этого события необходимо выбрать 2 белых шара из 5 имеющихся. Число таких способов (благоприятных исходов) равно:

$m_1 = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Вероятность этого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}$.

Ответ: $\frac{2}{11}$

2) оба шара чёрного цвета

Для наступления этого события необходимо выбрать 2 чёрных шара из 6 имеющихся. Число благоприятных исходов равно:

$m_2 = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Вероятность этого события равна:

$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$.

Ответ: $\frac{3}{11}$

3) один шар белый, другой чёрный

Для наступления этого события необходимо выбрать 1 белый шар из 5 и 1 чёрный шар из 6. Число способов выбрать 1 белый шар из 5 равно $C_5^1 = 5$. Число способов выбрать 1 чёрный шар из 6 равно $C_6^1 = 6$. По правилу произведения, число благоприятных исходов равно:

$m_3 = C_5^1 \cdot C_6^1 = 5 \cdot 6 = 30$.

Вероятность этого события равна:

$P_3 = \frac{m_3}{N} = \frac{30}{55} = \frac{6}{11}$.

Ответ: $\frac{6}{11}$

4) по крайней мере один шар белый

Событие "по крайней мере один шар белый" означает, что либо один шар белый и один чёрный, либо оба шара белые. Можно сложить вероятности этих двух несовместных событий, которые мы уже нашли в пунктах 3 и 1:

$P_4 = P_3 + P_1 = \frac{6}{11} + \frac{2}{11} = \frac{8}{11}$.

Другой способ — найти вероятность противоположного события, которое заключается в том, что ни одного белого шара не вынули, то есть оба шара чёрные (вероятность найдена в пункте 2). Тогда искомая вероятность будет:

$P_4 = 1 - P_2 = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$.

Ответ: $\frac{8}{11}$

5) по крайней мере один шар чёрный

Событие "по крайней мере один шар чёрный" означает, что либо один шар чёрный и один белый, либо оба шара чёрные. Сложим вероятности этих двух несовместных событий из пунктов 3 и 2:

$P_5 = P_3 + P_2 = \frac{6}{11} + \frac{3}{11} = \frac{9}{11}$.

Также можно найти вероятность противоположного события — ни одного чёрного шара, то есть оба шара белые (вероятность найдена в пункте 1). Тогда искомая вероятность будет:

$P_5 = 1 - P_1 = 1 - \frac{2}{11} = \frac{9}{11}$.

Ответ: $\frac{9}{11}$