Номер 1180, страница 362 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Упражнения к главе 12 - номер 1180, страница 362.

Условие.

1180 В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что:

1) все шары белые;

2) все шары чёрные;

3) один шар белый и 2 чёрных;

4) один шар чёрный и 2 белых.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

В коробке находятся 5 белых и 7 чёрных шаров, что в сумме составляет $5 + 7 = 12$ шаров. Из коробки наугад вынимают 3 шара. Для решения задачи используется классическое определение вероятности, где вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Так как порядок выбора шаров не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний.

Сначала найдем общее число возможных исходов $n$. Это число способов выбрать 3 шара из 12 имеющихся.$n = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.Итак, общее число способов вынуть 3 шара из 12 равно 220.

1) все шары белые
Чтобы все 3 вынутых шара были белыми, их нужно выбрать из 5 белых шаров. Найдем число благоприятных исходов $m_1$:$m_1 = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.Вероятность $P_1$ того, что все 3 шара будут белыми, равна:$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$.

Ответ: $\frac{1}{22}$

2) все шары чёрные
Чтобы все 3 вынутых шара были чёрными, их нужно выбрать из 7 чёрных шаров. Найдем число благоприятных исходов $m_2$:$m_2 = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.Вероятность $P_2$ того, что все 3 шара будут чёрными, равна:$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$.

Ответ: $\frac{7}{44}$

3) один шар белый и 2 чёрных
Чтобы получить 1 белый и 2 чёрных шара, нужно выбрать 1 шар из 5 белых и 2 шара из 7 чёрных.Число способов выбрать 1 белый шар из 5: $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$.Число способов выбрать 2 чёрных шара из 7: $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.Общее число благоприятных исходов $m_3$ находим по правилу произведения в комбинаторике:$m_3 = C_5^1 \cdot C_7^2 = 5 \cdot 21 = 105$.Вероятность $P_3$ этого события:$P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{105}{220} = \frac{21}{44}$.

Ответ: $\frac{21}{44}$

4) один шар чёрный и 2 белых
Чтобы получить 1 чёрный и 2 белых шара, нужно выбрать 1 шар из 7 чёрных и 2 шара из 5 белых.Число способов выбрать 1 чёрный шар из 7: $C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = 7$.Число способов выбрать 2 белых шара из 5: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.Общее число благоприятных исходов $m_4$:$m_4 = C_7^1 \cdot C_5^2 = 7 \cdot 10 = 70$.Вероятность $P_4$ этого события:$P_4 = \frac{m_4}{n} = \frac{70}{220} = \frac{7}{22}$.

Ответ: $\frac{7}{22}$