Номер 1182, страница 363 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 12. Элементы теории вероятностей. Упражнения к главе 12 - номер 1182, страница 363.

Условие.

1182 В первом ящике находятся 8 белых и 9 чёрных шаров, во втором — 6 белых и 5 чёрных. Наугад из каждого ящика выбирают по одному шару. Найти вероятность того, что:

1) оба шара оказались белыми;

2) оба шара оказались чёрными;

3) из первого ящика извлекли белый шар, а из второго — чёрный;

4) из первого ящика извлекли чёрный, а из второго — белый шар;

5) хотя бы один шар оказался белым;

6) хотя бы один шар оказался чёрным.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи сначала определим основные вероятности для каждого ящика.

В первом ящике:

• Всего шаров: $8 \text{ белых} + 9 \text{ чёрных} = 17$ шаров.
• Вероятность вытащить белый шар: $P(Б_1) = \frac{8}{17}$
• Вероятность вытащить чёрный шар: $P(Ч_1) = \frac{9}{17}$

Во втором ящике:

• Всего шаров: $6 \text{ белых} + 5 \text{ чёрных} = 11$ шаров.
• Вероятность вытащить белый шар: $P(Б_2) = \frac{6}{11}$
• Вероятность вытащить чёрный шар: $P(Ч_2) = \frac{5}{11}$

События извлечения шара из первого и второго ящиков являются независимыми, поэтому для нахождения вероятности одновременного наступления двух событий мы будем перемножать их вероятности.

1) оба шара оказались белыми;

Это событие означает, что из первого ящика извлекли белый шар И из второго ящика извлекли белый шар. Вероятность этого события равна произведению вероятностей $P(Б_1)$ и $P(Б_2)$.

$P(Б_1 \text{ и } Б_2) = P(Б_1) \times P(Б_2) = \frac{8}{17} \times \frac{6}{11} = \frac{48}{187}$

Ответ: $\frac{48}{187}$

2) оба шара оказались чёрными;

Это событие означает, что из первого ящика извлекли чёрный шар И из второго ящика извлекли чёрный шар. Вероятность этого события равна произведению вероятностей $P(Ч_1)$ и $P(Ч_2)$.

$P(Ч_1 \text{ и } Ч_2) = P(Ч_1) \times P(Ч_2) = \frac{9}{17} \times \frac{5}{11} = \frac{45}{187}$

Ответ: $\frac{45}{187}$

3) из первого ящика извлекли белый шар, а из второго — чёрный;

Вероятность этого события равна произведению вероятностей $P(Б_1)$ и $P(Ч_2)$.

$P(Б_1 \text{ и } Ч_2) = P(Б_1) \times P(Ч_2) = \frac{8}{17} \times \frac{5}{11} = \frac{40}{187}$

Ответ: $\frac{40}{187}$

4) из первого ящика извлекли чёрный, а из второго — белый шар;

Вероятность этого события равна произведению вероятностей $P(Ч_1)$ и $P(Б_2)$.

$P(Ч_1 \text{ и } Б_2) = P(Ч_1) \times P(Б_2) = \frac{9}{17} \times \frac{6}{11} = \frac{54}{187}$

Ответ: $\frac{54}{187}$

5) хотя бы один шар оказался белым;

Это событие является противоположным событию "оба шара оказались чёрными". Вероятность противоположного события можно найти, вычтя из единицы вероятность прямого события. Вероятность того, что оба шара чёрные, мы нашли в пункте 2.

$P(\text{хотя бы один белый}) = 1 - P(\text{оба чёрные}) = 1 - P(Ч_1 \text{ и } Ч_2) = 1 - \frac{45}{187} = \frac{187-45}{187} = \frac{142}{187}$

Ответ: $\frac{142}{187}$

6) хотя бы один шар оказался чёрным.

Это событие является противоположным событию "оба шара оказались белыми". Вероятность того, что оба шара белые, мы нашли в пункте 1.

$P(\text{хотя бы один чёрный}) = 1 - P(\text{оба белые}) = 1 - P(Б_1 \text{ и } Б_2) = 1 - \frac{48}{187} = \frac{187-48}{187} = \frac{139}{187}$

Ответ: $\frac{139}{187}$