Номер 1186, страница 368 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 71. Случайные величины - номер 1186, страница 368.

Условие.

1186 На стол бросают обыкновенный игральный кубик и игральный октаэдр, грани которого пронумерованы числами от 1 до 8. Составить таблицу распределения значений случайной величины $X$ — суммы выпавших чисел по их вероятностям $P$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $K$ — случайная величина, обозначающая число, выпавшее на игральном кубике, а $O$ — число, выпавшее на игральном октаэдре.

Игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Вероятность выпадения любого числа $k$ на кубике равна $P(K=k) = \frac{1}{6}$ для $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Игральный октаэдр имеет 8 граней с числами от 1 до 8. Вероятность выпадения любого числа $o$ на октаэдре равна $P(O=o) = \frac{1}{8}$ для $o \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Поскольку броски кубика и октаэдра — независимые события, общее число равновероятных элементарных исходов равно произведению числа граней кубика и октаэдра: $N = 6 \times 8 = 48$. Вероятность каждой пары $(k, o)$ равна $P(K=k, O=o) = \frac{1}{48}$.

Случайная величина $X$ представляет собой сумму выпавших чисел: $X = K + O$.

Найдем множество возможных значений для $X$:
Минимальное значение: $X_{min} = 1 + 1 = 2$.
Максимальное значение: $X_{max} = 6 + 8 = 14$.
Таким образом, $X$ может принимать любые целые значения в диапазоне от 2 до 14.

Для составления таблицы распределения необходимо найти вероятности $P(X = x_i)$ для каждого возможного значения $x_i$. Вероятность $P(X = x_i)$ равна отношению числа благоприятных исходов $m_i$ (пар $(k, o)$, для которых $k+o=x_i$) к общему числу исходов $N=48$.

Подсчитаем количество благоприятных исходов $m_i$ для каждого значения $X$ (в скобках указаны пары (кубик, октаэдр)):
Для $X=2$: 1 исход (1, 1).
Для $X=3$: 2 исхода (1, 2), (2, 1).
Для $X=4$: 3 исхода (1, 3), (2, 2), (3, 1).
Для $X=5$: 4 исхода (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).
Для $X=6$: 5 исходов (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).
Для $X=7$: 6 исходов (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
Для $X=8$: 6 исходов (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).
Для $X=9$: 6 исходов (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).
Для $X=10$: 5 исходов (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4).
Для $X=11$: 4 исхода (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5).
Для $X=12$: 3 исхода (4, 8), (5, 7), (6, 6).
Для $X=13$: 2 исхода (5, 8), (6, 7).
Для $X=14$: 1 исход (6, 8).

Сумма всех благоприятных исходов: $1+2+3+4+5+6+6+6+5+4+3+2+1 = 48$, что равно общему числу исходов. Расчеты верны.

Теперь можно составить таблицу распределения случайной величины $X$.

Ответ:

$X$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
$P$	$\frac{1}{48}$	$\frac{2}{48}$	$\frac{3}{48}$	$\frac{4}{48}$	$\frac{5}{48}$	$\frac{6}{48}$	$\frac{6}{48}$	$\frac{6}{48}$	$\frac{5}{48}$	$\frac{4}{48}$	$\frac{3}{48}$	$\frac{2}{48}$	$\frac{1}{48}$