Номер 1192, страница 370 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 71. Случайные величины - номер 1192, страница 370.

Условие.

1192 Значения роста $H$ у 100 жителей дома (в сантиметрах) попадают в промежуток $[50; 190]$. Распределение значений непрерывной случайной величины $H$ отражено в частотной таблице:

$H$	[50; 70)	[70; 90)	[90; 110)	[110; 130)	[130; 150)	[150; 170)	[170; 190]
$M$	5	8	10	12	15	30	20

Проиллюстрировать распределение этих данных с помощью гистограммы относительных частот.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения гистограммы относительных частот необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить общее количество наблюдений.
2. Вычислить относительные частоты для каждого интервала.
3. Вычислить высоту каждого столбца гистограммы.
4. Построить гистограмму.

1. Определение общего количества наблюдений

Общее количество наблюдений $N$ (число жителей) дано в условии задачи и равно 100. Также можно проверить это, просуммировав все частоты $M$ из таблицы:

$N = 5 + 8 + 10 + 12 + 15 + 30 + 20 = 100$

2. Вычисление относительных частот

Относительная частота $W$ для каждого интервала вычисляется по формуле:

$W = \frac{M}{N}$

где $M$ — частота попадания в интервал (количество жителей), $N$ — общее количество наблюдений.

• Для интервала $[50; 70)$: $W_1 = \frac{5}{100} = 0.05$
• Для интервала $[70; 90)$: $W_2 = \frac{8}{100} = 0.08$
• Для интервала $[90; 110)$: $W_3 = \frac{10}{100} = 0.10$
• Для интервала $[110; 130)$: $W_4 = \frac{12}{100} = 0.12$
• Для интервала $[130; 150)$: $W_5 = \frac{15}{100} = 0.15$
• Для интервала $[150; 170)$: $W_6 = \frac{30}{100} = 0.30$
• Для интервала $[170; 190]$: $W_7 = \frac{20}{100} = 0.20$

Проверка: сумма относительных частот должна быть равна 1.

$0.05 + 0.08 + 0.10 + 0.12 + 0.15 + 0.30 + 0.20 = 1.00$

3. Вычисление высоты столбцов гистограммы

Гистограмма состоит из прямоугольников, площадь каждого из которых равна относительной частоте соответствующего интервала. Высота прямоугольника вычисляется по формуле:

Высота = $\frac{\text{Относительная частота}}{\text{Длина интервала}} = \frac{W}{h}$

Длина $h$ для всех интервалов одинакова:

$h = 70 - 50 = 90 - 70 = \dots = 190 - 170 = 20$

Теперь вычислим высоты столбцов (плотность относительной частоты):

• Для интервала $[50; 70)$: Высота$_1 = \frac{0.05}{20} = 0.0025$
• Для интервала $[70; 90)$: Высота$_2 = \frac{0.08}{20} = 0.0040$
• Для интервала $[90; 110)$: Высота$_3 = \frac{0.10}{20} = 0.0050$
• Для интервала $[110; 130)$: Высота$_4 = \frac{0.12}{20} = 0.0060$
• Для интервала $[130; 150)$: Высота$_5 = \frac{0.15}{20} = 0.0075$
• Для интервала $[150; 170)$: Высота$_6 = \frac{0.30}{20} = 0.0150$
• Для интервала $[170; 190]$: Высота$_7 = \frac{0.20}{20} = 0.0100$

Сведем все данные в одну таблицу для наглядности:

Интервал роста $H$ (см)	Частота $M$	Относительная частота $W$	Длина интервала $h$	Высота столбца $W/h$
$[50; 70)$	5	0.05	20	0.0025
$[70; 90)$	8	0.08	20	0.0040
$[90; 110)$	10	0.10	20	0.0050
$[110; 130)$	12	0.12	20	0.0060
$[130; 150)$	15	0.15	20	0.0075
$[150; 170)$	30	0.30	20	0.0150
$[170; 190]$	20	0.20	20	0.0100

4. Построение гистограммы относительных частот

На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываем интервалы роста $H$. На вертикальной оси (оси ординат) — вычисленные высоты столбцов (плотность относительной частоты $W/h$). На каждом интервале строим прямоугольник, высота которого равна соответствующему значению из последнего столбца таблицы.

Ответ: Распределение данных проиллюстрировано с помощью вычислений и гистограммы относительных частот, представленной выше. Высоты столбцов гистограммы равны 0.0025, 0.0040, 0.0050, 0.0060, 0.0075, 0.0150, 0.0100 для соответствующих интервалов роста.