Номер 1199, страница 374 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 72. Центральные тенденции - номер 1199, страница 374.

Условие.

1199 Найти моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины X:

1)

$X$	$-3$	$-1$	$0$	$5$
$M$	$2$	$3$	$5$	$2$

2)

$X$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$3$
$M$	$1$	$3$	$2$	$4$	$1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для выборки, представленной таблицей:

X	-3	-1	0	5
M	2	3	5	2

Мода — это значение случайной величины, которое встречается в выборке наиболее часто. В данной таблице наибольшая частота $M=5$ соответствует значению $X=0$. Следовательно, мода выборки равна $0$.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченную (ранжированную) выборку на две равные по количеству элементов части. Сначала найдем объем выборки (общее количество значений):
$N = 2 + 3 + 5 + 2 = 12$.
Поскольку объем выборки $N=12$ является четным числом, медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, то есть элементов, стоящих на $N/2 = 6$-м и $N/2 + 1 = 7$-м местах в упорядоченном ряду.
Выпишем упорядоченный ряд значений: первые два значения равны $-3$, следующие три равны $-1$ (это 3-й, 4-й, 5-й элементы), следующие пять равны $0$ (это 6-й, 7-й, 8-й, 9-й, 10-й элементы).
Таким образом, и 6-й, и 7-й элементы ряда равны $0$.
Медиана = $\frac{0 + 0}{2} = 0$.

Среднее значение выборки (среднее арифметическое) вычисляется по формуле: $\bar{X} = \frac{\sum X_i M_i}{\sum M_i}$.
$\bar{X} = \frac{(-3) \cdot 2 + (-1) \cdot 3 + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 2}{2 + 3 + 5 + 2} = \frac{-6 - 3 + 0 + 10}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: мода: $0$; медиана: $0$; среднее: $\frac{1}{12}$.

2) Для выборки, представленной таблицей:

X	-2	-1	0	1	3
M	1	3	2	4	1

Мода. Наибольшая частота в данной выборке $M=4$ соответствует значению $X=1$. Значит, мода равна $1$.

Медиана. Найдем объем выборки:
$N = 1 + 3 + 2 + 4 + 1 = 11$.
Объем выборки $N=11$ является нечетным числом, поэтому медиана равна значению элемента, стоящего в середине упорядоченного ряда. Номер этого элемента: $\frac{N + 1}{2} = \frac{11 + 1}{2} = 6$.
Найдем 6-й элемент ряда. Первый элемент равен $-2$. Следующие три элемента (2-й, 3-й, 4-й) равны $-1$. Следующие два элемента (5-й и 6-й) равны $0$.
Следовательно, 6-й элемент ряда равен $0$, и медиана равна $0$.

Среднее значение выборки:
$\bar{X} = \frac{(-2) \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 1}{1 + 3 + 2 + 4 + 1} = \frac{-2 - 3 + 0 + 4 + 3}{11} = \frac{2}{11}$.

Ответ: мода: $1$; медиана: $0$; среднее: $\frac{2}{11}$.