Номер 1206, страница 382 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 73. Меры разброса - номер 1206, страница 382.

Условие.

1206 Найти среднее квадратичное отклонение величины X, заданной частотным распределением:

1)

X	2	3	4	6
M	2	2	1	3

2)

X	-5	-2	2	3
M	2	3	4	2

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Среднее квадратичное отклонение (σ) — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии.

Формула для среднего квадратичного отклонения: $ \sigma = \sqrt{D(X)} $, где $D(X)$ — дисперсия.

Дисперсию можно найти по одной из двух формул:
1. $ D(X) = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{X})^2 \cdot m_i}{N} $
2. $ D(X) = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 \cdot m_i}{N} - (\bar{X})^2 $

Здесь $x_i$ — значения величины, $m_i$ — их частоты, $N$ — общее число наблюдений ($N = \sum m_i$), а $\bar{X}$ — среднее значение (математическое ожидание), которое вычисляется по формуле: $ \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot m_i}{N} $.

1)

Дано частотное распределение:

X	2	3	4	6
M	2	2	1	3

1. Найдем общее число наблюдений $N$:
$ N = 2 + 2 + 1 + 3 = 8 $

2. Найдем среднее значение $\bar{X}$:
$ \bar{X} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot 3}{8} = \frac{4 + 6 + 4 + 18}{8} = \frac{32}{8} = 4 $

3. Найдем дисперсию $D(X)$. Используем первую формулу:
$ D(X) = \frac{(2-4)^2 \cdot 2 + (3-4)^2 \cdot 2 + (4-4)^2 \cdot 1 + (6-4)^2 \cdot 3}{8} $
$ D(X) = \frac{(-2)^2 \cdot 2 + (-1)^2 \cdot 2 + 0^2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 3}{8} $
$ D(X) = \frac{4 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 0 + 4 \cdot 3}{8} = \frac{8 + 2 + 12}{8} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} = 2.75 $

4. Найдем среднее квадратичное отклонение $\sigma$:
$ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{11}}{2} $

2)

Дано частотное распределение:

X	-5	-2	2	3
M	2	3	4	2

1. Найдем общее число наблюдений $N$:
$ N = 2 + 3 + 4 + 2 = 11 $

2. Найдем среднее значение $\bar{X}$:
$ \bar{X} = \frac{(-5) \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{11} = \frac{-10 - 6 + 8 + 6}{11} = \frac{-2}{11} $

3. Найдем дисперсию $D(X)$. Поскольку среднее значение дробное, удобнее использовать вторую формулу: $ D(X) = \frac{\sum x_i^2 \cdot m_i}{N} - (\bar{X})^2 $.
Сначала найдем $\frac{\sum x_i^2 \cdot m_i}{N}$:
$ \frac{\sum x_i^2 \cdot m_i}{N} = \frac{(-5)^2 \cdot 2 + (-2)^2 \cdot 3 + 2^2 \cdot 4 + 3^2 \cdot 2}{11} $
$ = \frac{25 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 2}{11} = \frac{50 + 12 + 16 + 18}{11} = \frac{96}{11} $
Теперь вычислим дисперсию:
$ D(X) = \frac{96}{11} - (\frac{-2}{11})^2 = \frac{96}{11} - \frac{4}{121} = \frac{96 \cdot 11 - 4}{121} = \frac{1056 - 4}{121} = \frac{1052}{121} $

4. Найдем среднее квадратичное отклонение $\sigma$:
$ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{1052}{121}} = \frac{\sqrt{1052}}{11} = \frac{\sqrt{4 \cdot 263}}{11} = \frac{2\sqrt{263}}{11} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{263}}{11} $