Номер 1204, страница 382 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 73. Меры разброса - номер 1204, страница 382.

Условие.

1204 Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значения элементов выборки:

1) 3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг;

2) 12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для выборки 3 кг, 5 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг.

Среднее квадратичное отклонение (или стандартное отклонение) — это мера рассеивания значений в выборке относительно их среднего арифметического. Алгоритм его нахождения следующий:

1. Вычислить среднее арифметическое значение выборки ($\bar{x}$).
2. Вычислить дисперсию ($\sigma^2$), которая является средним арифметическим квадратов отклонений значений выборки от их среднего значения.
3. Найти квадратный корень из дисперсии — это и будет среднее квадратичное отклонение ($\sigma$).

Шаг 1: Вычисление среднего значения ($\bar{x}$)

Выборка состоит из $n=5$ элементов.

Сумма всех элементов выборки: $3 + 5 + 5 + 8 + 4 = 25$ кг.

Среднее арифметическое значение: $\bar{x} = \frac{3 + 5 + 5 + 8 + 4}{5} = \frac{25}{5} = 5$ кг.

Шаг 2: Вычисление дисперсии ($\sigma^2$)

Находим отклонения каждого элемента от среднего значения и возводим их в квадрат:

• $(3 - 5)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(5 - 5)^2 = 0^2 = 0$
• $(5 - 5)^2 = 0^2 = 0$
• $(8 - 5)^2 = 3^2 = 9$
• $(4 - 5)^2 = (-1)^2 = 1$

Сумма квадратов отклонений: $4 + 0 + 0 + 9 + 1 = 14$.

Дисперсия — это среднее арифметическое этих квадратов:

$\sigma^2 = \frac{14}{5} = 2.8$ кг$^2$.

Шаг 3: Вычисление среднего квадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{2.8}$ кг.

Приближенное значение: $\sigma \approx 1.67$ кг.

Ответ: $\sqrt{2.8}$ кг.

2) Для выборки 12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м.

Применим тот же алгоритм.

Шаг 1: Вычисление среднего значения ($\bar{x}$)

Выборка состоит из $n=5$ элементов.

Сумма всех элементов выборки: $12 + 10 + 7 + 12 + 9 = 50$ м.

Среднее арифметическое значение: $\bar{x} = \frac{12 + 10 + 7 + 12 + 9}{5} = \frac{50}{5} = 10$ м.

Шаг 2: Вычисление дисперсии ($\sigma^2$)

Находим квадраты отклонений каждого элемента от среднего значения:

• $(12 - 10)^2 = 2^2 = 4$
• $(10 - 10)^2 = 0^2 = 0$
• $(7 - 10)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(12 - 10)^2 = 2^2 = 4$
• $(9 - 10)^2 = (-1)^2 = 1$

Сумма квадратов отклонений: $4 + 0 + 9 + 4 + 1 = 18$.

Дисперсия — это среднее арифметическое этих квадратов:

$\sigma^2 = \frac{18}{5} = 3.6$ м$^2$.

Шаг 3: Вычисление среднего квадратичного отклонения ($\sigma$)

Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{3.6}$ м.

Приближенное значение: $\sigma \approx 1.90$ м.

Ответ: $\sqrt{3.6}$ м.