Номер 1203, страница 382 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 73. Меры разброса - номер 1203, страница 382.

Условие.

1203 Найти дисперсию совокупности значений случайной величины $X$, заданной частотным распределением:

1) $X$: 2, 3, 4, 6

$M$: 3, 2, 2, 3

2) $X$: -1, 2, 3, 4, 5

$M$: 3, 1, 2, 3, 1

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дисперсия ($D(X)$) случайной величины X — это мера разброса её значений относительно среднего значения. Она вычисляется по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ – математическое ожидание (среднее значение), а $M(X^2)$ – математическое ожидание квадрата случайной величины.

Для случайной величины, заданной частотным распределением, эти величины находятся по формулам:
Среднее значение: $M(X) = \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i m_i}{N}$
Среднее значение квадратов: $M(X^2) = \overline{X^2} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 m_i}{N}$
Здесь $x_i$ — значения случайной величины, $m_i$ — их частоты, а $N = \sum_{i=1}^{k} m_i$ — общее число наблюдений (объём совокупности).

1)

Дано частотное распределение:
Значения X: 2, 3, 4, 6
Частоты M: 3, 2, 2, 3

1. Найдем объём совокупности $N$:
$N = \sum m_i = 3 + 2 + 2 + 3 = 10$

2. Найдем среднее значение $M(X)$:
$M(X) = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 6 \cdot 3}{10} = \frac{6 + 6 + 8 + 18}{10} = \frac{38}{10} = 3.8$

3. Найдем среднее значение квадратов $M(X^2)$:
$M(X^2) = \frac{2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 2 + 4^2 \cdot 2 + 6^2 \cdot 3}{10} = \frac{4 \cdot 3 + 9 \cdot 2 + 16 \cdot 2 + 36 \cdot 3}{10} = \frac{12 + 18 + 32 + 108}{10} = \frac{170}{10} = 17$

4. Вычислим дисперсию $D(X)$:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 17 - (3.8)^2 = 17 - 14.44 = 2.56$

Ответ: 2.56

2)

Дано частотное распределение:
Значения X: -1, 2, 3, 4, 5
Частоты M: 3, 1, 2, 3, 1

1. Найдем объём совокупности $N$:
$N = \sum m_i = 3 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10$

2. Найдем среднее значение $M(X)$:
$M(X) = \frac{(-1) \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1}{10} = \frac{-3 + 2 + 6 + 12 + 5}{10} = \frac{22}{10} = 2.2$

3. Найдем среднее значение квадратов $M(X^2)$:
$M(X^2) = \frac{(-1)^2 \cdot 3 + 2^2 \cdot 1 + 3^2 \cdot 2 + 4^2 \cdot 3 + 5^2 \cdot 1}{10} = \frac{1 \cdot 3 + 4 \cdot 1 + 9 \cdot 2 + 16 \cdot 3 + 25 \cdot 1}{10} = \frac{3 + 4 + 18 + 48 + 25}{10} = \frac{98}{10} = 9.8$

4. Вычислим дисперсию $D(X)$:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 9.8 - (2.2)^2 = 9.8 - 4.84 = 4.96$

Ответ: 4.96