Номер 1209, страница 382 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 73. Меры разброса - номер 1209, страница 382.

Условие.

1209 Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игровых сезонах, а другой — в шести (см. таблицу), сравнить по стабильности в забивании голов.

Условный номер сезона	1	2	3	4	5	6
Число голов, забитых 1-м футболистом	17	21	20	16	15	19
Число голов, забитых 2-м футболистом	—	17	20	18	21	14

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы сравнить стабильность двух футболистов, необходимо оценить разброс (меру рассеяния) данных по количеству забитых ими голов за сезон. Чем меньше разброс, тем стабильнее игрок. В качестве меры разброса в статистике используются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Игрок, у которого эти показатели меньше, считается более стабильным.

Расчет для 1-го футболиста

Ряд данных по числу голов, забитых 1-м футболистом за 6 сезонов ($n_1 = 6$): $17, 21, 20, 16, 15, 19$.

1. Найдем среднее арифметическое (среднее количество голов за сезон), обозначаемое $\bar{x}_1$:
$\bar{x}_1 = \frac{17 + 21 + 20 + 16 + 15 + 19}{6} = \frac{108}{6} = 18$ голов.

2. Найдем дисперсию ($D_1$). Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения от среднего.
$D_1 = \frac{(17-18)^2 + (21-18)^2 + (20-18)^2 + (16-18)^2 + (15-18)^2 + (19-18)^2}{6}$
$D_1 = \frac{(-1)^2 + 3^2 + 2^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + 1^2}{6}$
$D_1 = \frac{1 + 9 + 4 + 4 + 9 + 1}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \approx 4.67$

3. Найдем среднее квадратическое отклонение ($\sigma_1$), которое равно квадратному корню из дисперсии и показывает среднее отклонение данных от их среднего значения.
$\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{\frac{14}{3}} \approx 2.16$

Расчет для 2-го футболиста

Ряд данных по числу голов, забитых 2-м футболистом за 5 сезонов ($n_2 = 5$): $17, 20, 18, 21, 14$.

1. Найдем среднее арифметическое $\bar{x}_2$:
$\bar{x}_2 = \frac{17 + 20 + 18 + 21 + 14}{5} = \frac{90}{5} = 18$ голов.

2. Найдем дисперсию ($D_2$):
$D_2 = \frac{(17-18)^2 + (20-18)^2 + (18-18)^2 + (21-18)^2 + (14-18)^2}{5}$
$D_2 = \frac{(-1)^2 + 2^2 + 0^2 + 3^2 + (-4)^2}{5}$
$D_2 = \frac{1 + 4 + 0 + 9 + 16}{5} = \frac{30}{5} = 6$

3. Найдем среднее квадратическое отклонение ($\sigma_2$):
$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{6} \approx 2.45$

Сравнение и вывод

Теперь сравним вычисленные показатели для обоих футболистов. Среднее количество голов за сезон у них одинаковое: $\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = 18$.

Сравним их средние квадратические отклонения:
$\sigma_1 \approx 2.16$
$\sigma_2 \approx 2.45$

Поскольку $\sigma_1 < \sigma_2$ ($2.16 < 2.45$), это означает, что разброс результатов у первого футболиста меньше. Следовательно, первый футболист забивает голы более стабильно, чем второй.

Ответ: первый футболист более стабилен в забивании голов.