Номер 1205, страница 382 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 73. Меры разброса - номер 1205, страница 382.

Условие.

1205 Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые средние значения:

1) 6, 10, 7, 8, 9 и 8, 9, 5, 10;

2) 5, 12, 7, 8, 18 и 17, 6, 11, 7, 9, 10.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

В этом пункте необходимо сравнить дисперсии двух выборок, разделенных союзом "и":
Выборка 1: $\{6, 10, 7, 8, 9\}$
Выборка 2: $\{8, 9, 5, 10\}$

Дисперсия выборки — это мера разброса данных, равная среднему квадрату отклонений её элементов от их среднего значения. Формула для вычисления дисперсии: $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$, где $n$ — количество элементов в выборке, $x_i$ — i-й элемент выборки, а $\bar{x}$ — среднее значение выборки.

В соответствии с условием задачи, средние значения выборок должны быть одинаковы. Проверим это.

Среднее значение первой выборки ($n_1=5$):
$\bar{x}_1 = \frac{6+10+7+8+9}{5} = \frac{40}{5} = 8$.

Среднее значение второй выборки ($n_2=4$):
$\bar{x}_2 = \frac{8+9+5+10}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

Средние значения обеих выборок равны 8. Теперь вычислим их дисперсии.

Дисперсия первой выборки $D_1$:
$D_1 = \frac{(6-8)^2 + (10-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2}{5} = \frac{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2}{5} = \frac{4+4+1+0+1}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

Дисперсия второй выборки $D_2$:
$D_2 = \frac{(8-8)^2 + (9-8)^2 + (5-8)^2 + (10-8)^2}{4} = \frac{0^2 + 1^2 + (-3)^2 + 2^2}{4} = \frac{0+1+9+4}{4} = \frac{14}{4} = 3,5$.

Сравниваем полученные дисперсии: $D_1 = 2$, $D_2 = 3,5$. Так как $2 < 3,5$, то $D_1 < D_2$.

Ответ: Дисперсия второй выборки (3,5) больше дисперсии первой выборки (2).

2)

В этом пункте необходимо сравнить дисперсии двух выборок, разделенных союзом "и":
Выборка 1: $\{5, 12, 7, 8, 18\}$
Выборка 2: $\{17, 6, 11, 7, 9, 10\}$

Сначала найдем средние значения для каждой выборки.

Среднее значение первой выборки ($n_1=5$):
$\bar{y}_1 = \frac{5+12+7+8+18}{5} = \frac{50}{5} = 10$.

Среднее значение второй выборки ($n_2=6$):
$\bar{y}_2 = \frac{17+6+11+7+9+10}{6} = \frac{60}{6} = 10$.

Средние значения обеих выборок равны 10. Теперь вычислим их дисперсии, используя ту же формулу.

Дисперсия первой выборки $D_1$:
$D_1 = \frac{(5-10)^2 + (12-10)^2 + (7-10)^2 + (8-10)^2 + (18-10)^2}{5} = \frac{(-5)^2 + 2^2 + (-3)^2 + (-2)^2 + 8^2}{5} = \frac{25+4+9+4+64}{5} = \frac{106}{5} = 21,2$.

Дисперсия второй выборки $D_2$:
$D_2 = \frac{(17-10)^2 + (6-10)^2 + (11-10)^2 + (7-10)^2 + (9-10)^2 + (10-10)^2}{6} = \frac{7^2 + (-4)^2 + 1^2 + (-3)^2 + (-1)^2 + 0^2}{6} = \frac{49+16+1+9+1+0}{6} = \frac{76}{6} = \frac{38}{3} \approx 12,67$.

Сравниваем полученные дисперсии: $D_1 = 21,2$, $D_2 = \frac{38}{3} \approx 12,67$. Так как $21,2 > \frac{38}{3}$, то $D_1 > D_2$.

Ответ: Дисперсия первой выборки (21,2) больше дисперсии второй выборки ($\approx 12,67$).