Номер 1211, страница 383 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Упражнения к главе 13 - номер 1211, страница 383.

Условие.

1211 Имеются две монеты, у которых на одной из сторон записано число 1, а на другой — число 2. Составить таблицу распределения по вероятностям $P$ значений случайной величины $Y$ — суммы чисел, появившихся при бросании этих монет.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $X_1$ — случайная величина, обозначающая число, выпавшее на первой монете, а $X_2$ — на второй. Каждая из этих величин может принимать значения 1 или 2. Предполагая, что монеты "честные", вероятности выпадения чисел 1 и 2 равны:

$P(X_1=1) = \frac{1}{2}$, $P(X_1=2) = \frac{1}{2}$

$P(X_2=1) = \frac{1}{2}$, $P(X_2=2) = \frac{1}{2}$

Случайная величина $Y$ — это сумма чисел, появившихся при бросании этих двух монет: $Y = X_1 + X_2$.

Для того чтобы составить таблицу распределения, необходимо найти все возможные значения, которые может принимать величина $Y$, и соответствующие им вероятности.

Рассмотрим все возможные исходы при бросании двух монет. Поскольку броски являются независимыми событиями, всего существует $2 \times 2 = 4$ равновероятных элементарных исхода. Вероятность каждого из них равна $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.

• Исход 1: На первой монете выпало 1, на второй — 1. Сумма $Y = 1 + 1 = 2$.
• Исход 2: На первой монете выпало 1, на второй — 2. Сумма $Y = 1 + 2 = 3$.
• Исход 3: На первой монете выпало 2, на второй — 1. Сумма $Y = 2 + 1 = 3$.
• Исход 4: На первой монете выпало 2, на второй — 2. Сумма $Y = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, случайная величина $Y$ может принимать значения 2, 3 или 4. Теперь найдем вероятности для каждого из этих значений.

• Вероятность $P(Y=2)$
  Сумма равна 2 только в одном из четырех исходов (1, 1). Следовательно, $P(Y=2) = \frac{1}{4}$.
• Вероятность $P(Y=3)$
  Сумма равна 3 в двух исходах: (1, 2) и (2, 1). Поскольку эти исходы несовместны, их вероятности складываются. $P(Y=3) = P(1,2) + P(2,1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
• Вероятность $P(Y=4)$
  Сумма равна 4 только в одном исходе (2, 2). $P(Y=4) = \frac{1}{4}$.

Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1. $P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1+2+1}{4} = 1$. Расчеты верны.

Ответ:

Таблица распределения по вероятностям $P$ значений случайной величины $Y$:

$Y$	2	3	4
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$