Номер 1207, страница 382 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 73. Меры разброса - номер 1207, страница 382.

Условие.

1207 Сравнить дисперсии выборок, имеющих разные средние значения:

1) 4, 6, 8, 9, 8 и 6, 8, 10, 12, 9;

2) 6, 3, 4, 8, 9 и 2, 6, 3, 7, 5, 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы сравнить дисперсии выборок, необходимо сначала вычислить дисперсию для каждой из них. Дисперсия выборки вычисляется по формуле $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$, где $n$ — объем выборки, $x_i$ — элементы выборки, а $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение выборки.

1) Вычислим дисперсию для первой выборки: $4, 6, 8, 9, 8, 6, 8, 10, 12, 9$.

Объем данной выборки $n_1 = 10$.

Найдем ее среднее арифметическое значение $\bar{x}_1$:

$\bar{x}_1 = \frac{4 + 6 + 8 + 9 + 8 + 6 + 8 + 10 + 12 + 9}{10} = \frac{80}{10} = 8$.

Теперь вычислим дисперсию $D_1$:

$D_1 = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(x_i - 8)^2 = \frac{1}{10}((4-8)^2 + (6-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (8-8)^2 + (6-8)^2 + (8-8)^2 + (10-8)^2 + (12-8)^2 + (9-8)^2)$

$D_1 = \frac{1}{10}((-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2 + 1^2) = \frac{1}{10}(16 + 4 + 0 + 1 + 0 + 4 + 0 + 4 + 16 + 1) = \frac{46}{10} = 4.6$.

Ответ: Дисперсия первой выборки $D_1 = 4.6$.

2) Вычислим дисперсию для второй выборки: $6, 3, 4, 8, 9, 2, 6, 3, 7, 5, 7$.

Объем данной выборки $n_2 = 11$.

Найдем ее среднее арифметическое значение $\bar{x}_2$:

$\bar{x}_2 = \frac{6 + 3 + 4 + 8 + 9 + 2 + 6 + 3 + 7 + 5 + 7}{11} = \frac{60}{11}$.

Поскольку среднее значение является нецелым числом, для вычисления дисперсии $D_2$ удобнее использовать альтернативную формулу: $D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - (\bar{x})^2$.

Найдем сумму квадратов элементов выборки:

$\sum_{i=1}^{11}x_i^2 = 6^2 + 3^2 + 4^2 + 8^2 + 9^2 + 2^2 + 6^2 + 3^2 + 7^2 + 5^2 + 7^2 = 36 + 9 + 16 + 64 + 81 + 4 + 36 + 9 + 49 + 25 + 49 = 378$.

Теперь вычислим дисперсию $D_2$:

$D_2 = \frac{378}{11} - (\frac{60}{11})^2 = \frac{378}{11} - \frac{3600}{121} = \frac{378 \cdot 11}{121} - \frac{3600}{121} = \frac{4158 - 3600}{121} = \frac{558}{121}$.

Ответ: Дисперсия второй выборки $D_2 = \frac{558}{121}$.

Теперь сравним полученные значения дисперсий $D_1 = 4.6$ и $D_2 = \frac{558}{121}$.

Представим $D_1$ в виде обыкновенной дроби: $D_1 = 4.6 = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{23}{5}$ и $\frac{558}{121}$, воспользуемся перекрестным умножением:

$23 \cdot 121 = 2783$

$5 \cdot 558 = 2790$

Так как $2783 < 2790$, то $\frac{23}{5} < \frac{558}{121}$, следовательно, $D_1 < D_2$.

Ответ: Дисперсия второй выборки больше дисперсии первой выборки.