Номер 1193, страница 373 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 13. Статистика. Параграф 72. Центральные тенденции - номер 1193, страница 373.

Условие.

1193 (Устно.) Распределение в генеральной совокупности значений случайной величины $X$ отражено в таблице:

$X$	5	7	9	11	12
$M$	25	60	80	45	15

Установить выборку, являющуюся репрезентативной для заданной генеральной совокупности:

1)

$X$	5	7	9	11	12
$M$	5	12	16	9	5

2)

$X$	5	7	11	12
$M$	5	12	9	3

3)

$X$	5	7	9	11	12
$M$	5	12	16	9	3

4)

$X$	5	7	8	9	11	12
$M$	5	12	14	16	9	3

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы выборка была репрезентативной, необходимо, чтобы частоты значений случайной величины в выборке были пропорциональны частотам этих же значений в генеральной совокупности. Иными словами, соотношение частот в выборке должно быть таким же, как и в генеральной совокупности.

Сначала проанализируем генеральную совокупность.

Значения случайной величины $X$: 5, 7, 9, 11, 12.

Соответствующие им частоты $M$: 25, 60, 80, 45, 15.

Найдем соотношение частот в генеральной совокупности, упростив его. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для всех частот: НОД(25, 60, 80, 45, 15) = 5.

Разделим каждую частоту на 5, чтобы получить базовое соотношение:

$25:60:80:45:15 = (25/5):(60/5):(80/5):(45/5):(15/5) = 5:12:16:9:3$.

Репрезентативная выборка должна иметь такое же соотношение частот для соответствующих значений $X$. Теперь проверим каждую из предложенных выборок.

1)

В данной выборке значениям $X = \{5, 7, 9, 11, 12\}$ соответствуют частоты $M = \{5, 12, 16, 9, 5\}$.

Соотношение частот в этой выборке: $5:12:16:9:5$.

Сравнивая это соотношение с эталонным ($5:12:16:9:3$), видим, что они не совпадают. Частота для значения $X=12$ равна 5, в то время как для сохранения пропорции она должна быть равна 3 (или кратна 3). Следовательно, эта выборка не является репрезентативной.

Ответ: не является репрезентативной.

2)

В данной выборке представлены значения $X = \{5, 7, 11, 12\}$ с частотами $M = \{5, 12, 9, 3\}$.

В этой выборке отсутствует значение $X=9$. В генеральной совокупности это значение встречается наиболее часто (частота 80). Исключение самого частого значения из выборки делает ее непредставительной, так как она не отражает структуру генеральной совокупности.

Ответ: не является репрезентативной.

3)

В данной выборке значениям $X = \{5, 7, 9, 11, 12\}$ соответствуют частоты $M = \{5, 12, 16, 9, 3\}$.

Соотношение частот в этой выборке: $5:12:16:9:3$.

Это соотношение в точности совпадает с соотношением частот в генеральной совокупности. Проверим пропорциональность частот выборки ($m_i$) частотам генеральной совокупности ($M_i$). Коэффициент пропорциональности $k = m_i / M_i$ должен быть одинаковым для всех значений.

$k_1 = 5 / 25 = 1/5$

$k_2 = 12 / 60 = 1/5$

$k_3 = 16 / 80 = 1/5$

$k_4 = 9 / 45 = 1/5$

$k_5 = 3 / 15 = 1/5$

Поскольку коэффициент пропорциональности постоянен ($k=1/5$) для всех значений, данная выборка полностью пропорциональна генеральной совокупности. Следовательно, она является репрезентативной.

Ответ: является репрезентативной.

4)

В данной выборке представлены значения $X = \{5, 7, 8, 9, 11, 12\}$.

В этой выборке присутствует значение $X=8$, которого нет в исходной генеральной совокупности. Наличие в выборке значений, отсутствующих в генеральной совокупности, прямо нарушает условие представительности. Такая выборка не может представлять данную совокупность.

Ответ: не является репрезентативной.