Номер 1237, страница 400 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1237, страница 400.

Условие.

1237 Высота пирамиды равна 5 см, а площадь её основания равна 4 см$^2$. На сколько процентов увеличится объём этой пирамиды, если и площадь её основания, и высоту увеличить на 10%?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S h$

где $S$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

Сначала определим первоначальный объём пирамиды ($V_1$). По условию, первоначальная высота $h_1 = 5$ см, а первоначальная площадь основания $S_1 = 4$ см². Подставим эти значения в формулу:

$V_1 = \frac{1}{3} \cdot S_1 \cdot h_1 = \frac{1}{3} \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = \frac{20}{3}$ см³.

Далее, по условию, и площадь основания, и высота увеличиваются на 10%. Увеличение величины на 10% означает, что новая величина составит $100\% + 10\% = 110\%$ от старой, что равносильно умножению на коэффициент 1.1. Найдём новые значения высоты ($h_2$) и площади основания ($S_2$):

$h_2 = 1.1 \cdot h_1 = 1.1 \cdot 5 \text{ см} = 5.5$ см.

$S_2 = 1.1 \cdot S_1 = 1.1 \cdot 4 \text{ см}^2 = 4.4$ см².

Теперь вычислим новый объём пирамиды ($V_2$), используя новые значения:

$V_2 = \frac{1}{3} \cdot S_2 \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot 4.4 \text{ см}^2 \cdot 5.5 \text{ см} = \frac{24.2}{3}$ см³.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличился объём, воспользуемся формулой процентного изменения. Найдём разницу между новым и старым объёмом и разделим её на старый объём, затем умножим на 100%:

$\frac{V_2 - V_1}{V_1} \cdot 100\% = \frac{\frac{24.2}{3} \text{ см}^3 - \frac{20}{3} \text{ см}^3}{\frac{20}{3} \text{ см}^3} \cdot 100\% = \frac{\frac{4.2}{3}}{\frac{20}{3}} \cdot 100\% = \frac{4.2}{20} \cdot 100\% = 0.21 \cdot 100\% = 21\%$.

Можно также отметить, что результат не зависит от исходных данных. Если начальный объём $V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1$, то новый объём $V_2$ после увеличения $S_1$ и $h_1$ на 10% (т.е. умножения на 1.1) будет:

$V_2 = \frac{1}{3} (1.1 \cdot S_1) (1.1 \cdot h_1) = 1.1 \cdot 1.1 \cdot (\frac{1}{3} S_1 h_1) = 1.21 \cdot V_1$.

Новый объём составляет 121% от первоначального, следовательно, он увеличился на $121\% - 100\% = 21\%$.

Ответ: на 21%.