Вариант 5*, страница 39 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Механика. Законы сохранения в механике. Самостоятельная работа № 3. Механическая энергия - страница 39.

Условие.

Вариант 5*

1. Малое тело массой 400 г равномерно вращается в вертикальной плоскости на невесомом стержне длиной 2 м с постоянной скоростью 2 м/с. На сколько отличается полная энергия тела в верхней и нижней точках траектории?

2. Во сколько раз будет отличаться потенциальная энергия пружины при растяжениях, отличающихся в 3 раза?

Решение.

1. Дано:

m = 400 г

L = 2 м

v = 2 м/с

Переведем массу тела в систему СИ:

m = 400 г = 0,4 кг

Найти:

ΔE - ?

Решение:

Полная механическая энергия тела $\text{E}$ складывается из его кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$: $E = E_k + E_p$.

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$. По условию задачи скорость тела $\text{v}$ постоянна, следовательно, его кинетическая энергия также является постоянной величиной в любой точке траектории.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли вычисляется по формуле $E_p = mgh$, где $\text{h}$ — высота тела над некоторым условным нулевым уровнем.

Найдем разность полных энергий тела в верхней ($E_{верх}$) и нижней ($E_{нижн}$) точках траектории:

$ΔE = E_{верх} - E_{нижн} = (E_{k,верх} + E_{p,верх}) - (E_{k,нижн} + E_{p,нижн})$

Так как скорость тела не меняется ($v_{верх} = v_{нижн} = v$), то и его кинетическая энергия одинакова в этих точках ($E_{k,верх} = E_{k,нижн}$). Тогда разность полных энергий будет равна разности потенциальных энергий:

$ΔE = E_{p,верх} - E_{p,нижн}$

Выберем в качестве нулевого уровня потенциальной энергии нижнюю точку траектории. Для этой точки высота $h_{нижн} = 0$, и, соответственно, потенциальная энергия $E_{p,нижн} = 0$.

Верхняя точка траектории находится на высоте, равной диаметру окружности вращения. Радиус окружности равен длине стержня $\text{L}$. Таким образом, высота верхней точки над нижней составляет $h_{верх} = 2L$.

Потенциальная энергия тела в верхней точке траектории равна:

$E_{p,верх} = mgh_{верх} = mg(2L)$

Следовательно, разность энергий равна:

$ΔE = mg(2L) - 0 = 2mgL$

Подставим числовые значения в итоговую формулу, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²:

$ΔE = 2 \cdot 0,4 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 2 \text{ м} = 16 \text{ Дж}$

Ответ: полная энергия тела в верхней точке траектории на 16 Дж больше, чем в нижней.

2. Потенциальная энергия упруго деформированной (растянутой или сжатой) пружины вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $\text{k}$ — коэффициент жесткости пружины, а $\text{x}$ — величина ее растяжения (деформации).

Пусть в первом случае растяжение пружины равно $x_1$, а соответствующая ему потенциальная энергия — $E_{p1}$.

$E_{p1} = \frac{kx_1^2}{2}$

Во втором случае растяжение пружины $x_2$ в 3 раза больше, чем в первом, то есть $x_2 = 3x_1$. Соответствующая потенциальная энергия будет равна $E_{p2}$.

$E_{p2} = \frac{kx_2^2}{2} = \frac{k(3x_1)^2}{2} = \frac{k \cdot 9x_1^2}{2} = 9 \cdot \frac{kx_1^2}{2}$

Чтобы определить, во сколько раз отличаются потенциальные энергии, найдем их отношение:

$\frac{E_{p2}}{E_{p1}} = \frac{9 \cdot \frac{kx_1^2}{2}}{\frac{kx_1^2}{2}} = 9$

Таким образом, при увеличении растяжения в 3 раза, потенциальная энергия пружины увеличивается в 9 раз.

Ответ: потенциальная энергия пружины будет отличаться в 9 раз.