Вариант 4, страница 55 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 4. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Основы МКТ. Молекулярная физика. Тепловые явления - страница 55.

Условие.

Вариант 4

1. Какой объём занимает 1 моль воздуха при температуре $0^\circ\text{C}$ и давлении 730 мм рт. ст.?

2. На рисунке представлен график процесса 1—2—3. Какой точке данного процесса соответствует наименьшее давление? Ответ поясните.

Решение.

1. Какой объём занимает 1 моль воздуха при температуре 0 °С и давлении 730 мм рт. ст.?

Дано:

Количество вещества (воздух), $n = 1$ моль
Температура, $t = 0$ °C
Давление, $p = 730$ мм рт. ст.
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,314$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:
Температура: $T = t + 273,15 = 0 + 273,15 = 273,15$ К
Давление: Нормальное атмосферное давление $p_0 = 760$ мм рт. ст. $= 101325$ Па.
$p = 730 \text{ мм рт. ст.} = \frac{730}{760} \times 101325 \text{ Па} \approx 97326$ Па.

Найти:

Объём воздуха, $\text{V}$ - ?

Решение:

Для нахождения объёма идеального газа воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = nRT$

где $\text{p}$ – давление газа, $\text{V}$ – объём газа, $\text{n}$ – количество вещества, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура.

Выразим из этого уравнения искомый объём $\text{V}$:

$V = \frac{nRT}{p}$

Подставим числовые значения в единицах СИ и произведём вычисления:

$V = \frac{1 \text{ моль} \cdot 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 273,15 \text{ К}}{97326 \text{ Па}} \approx \frac{2271,1}{97326} \approx 0,0233$ м³

Для удобства можно перевести объём в литры, учитывая, что 1 м³ = 1000 л:

$V \approx 0,0233 \text{ м³} \cdot 1000 \frac{\text{л}}{\text{м³}} = 23,3$ л

Ответ: объём, занимаемый 1 моль воздуха при заданных условиях, составляет примерно 0,0233 м³ или 23,3 л.

2. На рисунке представлен график процесса 1—2—3. Какой точке данного процесса соответствует наименьшее давление? Ответ поясните.

Для анализа процесса воспользуемся уравнением состояния идеального газа: $pV = nRT$. Из этого уравнения можно выразить давление: $p = \frac{nRT}{V}$. Так как количество газа $\text{n}$ и универсальная газовая постоянная $\text{R}$ в процессе не меняются, давление $\text{p}$ прямо пропорционально отношению абсолютной температуры к объёму: $p \propto \frac{T}{V}$.

Проанализируем каждый участок процесса:

1. Участок 1–2: Этот процесс является изохорным, так как объём не изменяется ($V = \text{const}$). Температура $\text{T}$ увеличивается. Согласно закону Шарля, для изохорного процесса $\frac{p}{T} = \text{const}$, поэтому при росте температуры давление также растёт. Следовательно, давление в точке 2 больше, чем в точке 1 ($p_2 > p_1$).

2. Участок 2–3: Этот процесс является изотермическим, так как температура не изменяется ($T = \text{const}$). Объём $\text{V}$ увеличивается. Согласно закону Бойля-Мариотта, для изотермического процесса $pV = \text{const}$, поэтому при увеличении объёма давление уменьшается. Следовательно, давление в точке 3 меньше, чем в точке 2 ($p_3 < p_2$).

Из проведённого анализа следует, что в точке 2 давление является максимальным в данном процессе. Значит, наименьшее давление будет либо в точке 1, либо в точке 3. Для их сравнения можно применить графический метод.

Перепишем уравнение состояния в виде $V = \left(\frac{nR}{p}\right)T$. В координатах V-T этому уравнению соответствуют изобары (линии постоянного давления) — прямые линии, проходящие через начало координат. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) такой прямой равен $k = \frac{V}{T} = \frac{nR}{p}$. Отсюда видно, что давление обратно пропорционально угловому коэффициенту изобары: $p \propto \frac{1}{k}$. Таким образом, чем больше наклон изобары, тем меньше давление.

Наименьшему давлению соответствует точка на графике, через которую проходит изобара с самым большим наклоном (самая крутая прямая, проведённая из начала координат). Визуально сравнивая наклоны прямых, проведённых из начала координат в точки 1 и 3, можно заметить, что прямая, идущая в точку 3, имеет больший угол наклона к оси T, чем прямая, идущая в точку 1. Это означает, что угловой коэффициент для точки 3 больше, чем для точки 1 ($k_3 > k_1$).

Поскольку $p \propto \frac{1}{k}$, из неравенства $k_3 > k_1$ следует, что $p_3 < p_1$. Объединяя все результаты, получаем соотношение давлений: $p_3 < p_1 < p_2$.

Следовательно, наименьшее давление в процессе достигается в точке 3.

Ответ: наименьшее давление соответствует точке 3.