Вариант 5*, страница 59 - гдз по физике 10 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Самостоятельная работа № 1. Внутренняя энергия. Изменение внутренней энергии - страница 59.

Условие.

Вариант 5*

1. Один баллон объёмом 3 л заполнен водородом под давлением 200 кПа, другой баллон объёмом 5 л заполнен гелием под давлением $10^5$ Па. Определите, во сколько раз отличаются внутренние энергии этих газов.

2. Многоатомный газ перевели из одного состояния в другое, при этом масса газа увеличилась на 20%, а температура уменьшилась на 20%. Какую часть (в процентах) составляет изменение внутренней энергии газа от первоначального значения?

Решение.

1. Дано:

Для водорода ($H_2$):
$V_1 = 3$ л
$P_1 = 200$ кПа

Для гелия (He):
$V_2 = 5$ л
$P_2 = 10^5$ Па

$V_1 = 3 \text{ л} = 3 \times 10^{-3} \text{ м}^3$
$P_1 = 200 \text{ кПа} = 200 \times 10^3 \text{ Па} = 2 \times 10^5 \text{ Па}$
$V_2 = 5 \text{ л} = 5 \times 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$\frac{U_1}{U_2}$

Решение:

Внутренняя энергия идеального газа вычисляется по формуле $U = \frac{i}{2} \nu R T$, где $\text{i}$ — число степеней свободы молекул газа, $\nu$ — количество вещества, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ — абсолютная температура. Используя уравнение состояния идеального газа $PV = \nu R T$, данную формулу можно представить в виде: $U = \frac{i}{2} PV$.

Водород ($H_2$) является двухатомным газом, поэтому число степеней свободы для него равно $i_1 = 5$.

Гелий (He) является одноатомным газом, поэтому число степеней свободы для него равно $i_2 = 3$.

Рассчитаем внутреннюю энергию водорода:

$U_1 = \frac{i_1}{2} P_1 V_1 = \frac{5}{2} \times (2 \times 10^5 \text{ Па}) \times (3 \times 10^{-3} \text{ м}^3) = \frac{5}{2} \times 600 \text{ Дж} = 1500 \text{ Дж}$.

Рассчитаем внутреннюю энергию гелия:

$U_2 = \frac{i_2}{2} P_2 V_2 = \frac{3}{2} \times (10^5 \text{ Па}) \times (5 \times 10^{-3} \text{ м}^3) = \frac{3}{2} \times 500 \text{ Дж} = 750 \text{ Дж}$.

Теперь найдем, во сколько раз отличаются их внутренние энергии:

$\frac{U_1}{U_2} = \frac{1500 \text{ Дж}}{750 \text{ Дж}} = 2$.

Ответ: внутренняя энергия водорода в 2 раза больше внутренней энергии гелия.

2. Дано:

Газ многоатомный
$m_2 = m_1 + 0.2 m_1 = 1.2 m_1$
$T_2 = T_1 - 0.2 T_1 = 0.8 T_1$

Найти:

$\frac{\Delta U}{U_1} \times 100\%$

Решение:

Внутренняя энергия идеального газа определяется формулой: $U = \frac{i}{2} \frac{m}{M} R T$, где $\text{i}$ — число степеней свободы, $\text{m}$ — масса газа, $\text{M}$ — молярная масса газа, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Начальная внутренняя энергия газа была равна:

$U_1 = \frac{i}{2} \frac{m_1}{M} R T_1$.

После изменения масса газа стала $m_2 = 1.2 m_1$, а температура $T_2 = 0.8 T_1$. Конечная внутренняя энергия газа:

$U_2 = \frac{i}{2} \frac{m_2}{M} R T_2$.

Подставим новые значения массы и температуры в формулу для конечной энергии:

$U_2 = \frac{i}{2} \frac{(1.2 m_1)}{M} R (0.8 T_1) = 1.2 \times 0.8 \times \left(\frac{i}{2} \frac{m_1}{M} R T_1\right)$.

Так как выражение в скобках равно $U_1$, получаем:

$U_2 = 0.96 \times U_1$.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ равно разности конечной и начальной энергий:

$\Delta U = U_2 - U_1 = 0.96 U_1 - U_1 = -0.04 U_1$.

Чтобы найти, какую часть (в процентах) составляет это изменение от первоначального значения, найдем отношение $\frac{\Delta U}{U_1}$ и умножим на 100%:

$\frac{\Delta U}{U_1} = \frac{-0.04 U_1}{U_1} = -0.04$.

В процентах это составит: $-0.04 \times 100\% = -4\%$.

Знак "минус" указывает на то, что внутренняя энергия газа уменьшилась.

Ответ: изменение внутренней энергии составляет -4% от первоначального значения, то есть внутренняя энергия уменьшилась на 4%.