Номер 10, страница 37 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 4. Криволинейное движение - номер 10, страница 37.

Условие.

10. Первое тело бросили под углом $30^\circ$ к горизонту, а второе тело — под углом $45^\circ$ к горизонту, причём оба тела поднялись до одной и той же высоты. Сравните вертикальные и горизонтальные проекции скорости этих тел.

Решение.

Дано:

Угол броска первого тела: $ \alpha_1 = 30^\circ $
Угол броска второго тела: $ \alpha_2 = 45^\circ $
Максимальная высота подъема тел одинакова: $ H_1 = H_2 = H $

Найти:

Сравнить вертикальные ($ v_{0y1} $, $ v_{0y2} $) и горизонтальные ($ v_{0x1} $, $ v_{0x2} $) проекции начальных скоростей.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтальной оси Ox и равноускоренного по вертикальной оси Oy с ускорением свободного падения $ g $, направленным вниз.

Проекции начальной скорости $ v_0 $ на оси координат определяются как:
Горизонтальная проекция: $ v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) $
Вертикальная проекция: $ v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) $

Сравнение вертикальных проекций скорости

Максимальная высота подъема тела $ H $ зависит только от вертикальной проекции начальной скорости $ v_{0y} $ и вычисляется по формуле: $ H = \frac{v_{0y}^2}{2g} $

Согласно условию задачи, максимальные высоты подъема для обоих тел равны, то есть $ H_1 = H_2 $. Запишем это равенство, используя формулу для высоты: $ \frac{v_{0y1}^2}{2g} = \frac{v_{0y2}^2}{2g} $

Из этого соотношения следует, что $ v_{0y1}^2 = v_{0y2}^2 $. Так как при броске тела начальная вертикальная проекция скорости направлена вверх и является положительной величиной, то их значения равны: $ v_{0y1} = v_{0y2} $.
Ответ: Вертикальные проекции начальной скорости тел равны.

Сравнение горизонтальных проекций скорости

Чтобы сравнить горизонтальные проекции, выразим их через вертикальные проекции, которые, как мы выяснили, равны. Из формулы $ v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) $ выразим начальную скорость $ v_0 = \frac{v_{0y}}{\sin(\alpha)} $.

Теперь подставим это выражение в формулу для горизонтальной проекции: $ v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) = \left(\frac{v_{0y}}{\sin(\alpha)}\right) \cos(\alpha) = v_{0y} \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = v_{0y} \cot(\alpha) $

Запишем выражения для горизонтальных проекций скоростей первого и второго тел, учитывая, что $ v_{0y1} = v_{0y2} $: $ v_{0x1} = v_{0y1} \cot(\alpha_1) = v_{0y1} \cot(30^\circ) $
$ v_{0x2} = v_{0y2} \cot(\alpha_2) = v_{0y1} \cot(45^\circ) $

Найдем отношение горизонтальных проекций скоростей $ \frac{v_{0x1}}{v_{0x2}} $: $ \frac{v_{0x1}}{v_{0x2}} = \frac{v_{0y1} \cot(30^\circ)}{v_{0y1} \cot(45^\circ)} = \frac{\cot(30^\circ)}{\cot(45^\circ)} $

Используя значения котангенсов $ \cot(30^\circ) = \sqrt{3} $ и $ \cot(45^\circ) = 1 $, получаем: $ \frac{v_{0x1}}{v_{0x2}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} $

Таким образом, $ v_{0x1} = \sqrt{3} \cdot v_{0x2} $. Поскольку $ \sqrt{3} \approx 1.732 > 1 $, горизонтальная проекция скорости первого тела больше, чем у второго.
Ответ: Горизонтальная проекция начальной скорости первого тела в $ \sqrt{3} $ раз больше, чем у второго тела.