Номер 3, страница 45 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 5. Примеры решения задач по кинематике - номер 3, страница 45.

Условие.

3. Как связан пройденный телом путь с площадью под графиком скорости этого тела?

Решение.

Решение

Пройденный телом путь и площадь под графиком скорости (зависимости скорости от времени $v(t)$) тесно связаны. Эта связь заключается в том, что пройденный путь численно равен площади под графиком модуля скорости (спидометра), а перемещение — площади под графиком проекции скорости.

Рассмотрим эту связь подробнее.

1. Равномерное прямолинейное движение

При равномерном движении скорость тела постоянна ($v = \text{const}$). График скорости — это прямая, параллельная оси времени. За время $\text{t}$ тело проходит путь $s = v \cdot t$. Площадь под этим графиком представляет собой прямоугольник со сторонами $\text{v}$ и $\text{t}$. Его площадь $\text{S}$ также равна $S = v \cdot t$. Таким образом, $s = S$. В этом простом случае пройденный путь численно равен площади под графиком скорости.

2. Равноускоренное прямолинейное движение

При равноускоренном движении скорость изменяется по линейному закону: $v(t) = v_0 + at$. График скорости — это наклонная прямая. Путь, пройденный за время $\text{t}$ от начального момента, равен $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Фигура под графиком скорости от $t=0$ до $\text{t}$ является трапецией, основания которой равны начальной скорости $v_0$ и конечной скорости $v = v_0 + at$, а высота равна времени $\text{t}$.

Площадь этой трапеции $\text{S}$ равна:

$S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t = \frac{v_0 + (v_0 + at)}{2} \cdot t = \frac{2v_0t + at^2}{2} = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Мы видим, что и в этом случае формула для площади под графиком скорости в точности совпадает с формулой для пройденного пути (при условии, что $v(t) \ge 0$ на всем интервале).

3. Общий случай произвольного движения

В общем случае движение может быть неравномерным, и тело может менять направление. Здесь важно различать понятия «путь» и «перемещение».

• Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Площадь под графиком проекции скорости $v_x(t)$ на ось $\text{x}$ численно равна проекции перемещения $\Delta x$. Если график проходит под осью времени, скорость (и перемещение за этот интервал) отрицательна, и площадь также считается отрицательной.

• Пройденный путь — это длина траектории. Путь — скалярная величина, и он всегда неотрицателен. Пройденный путь численно равен площади под графиком модуля скорости (то есть скорости по спидометру). Если на графике скорости $v(t)$ есть участки ниже оси времени, то для нахождения пути площади этих участков нужно брать по модулю (сделать их положительными) и складывать с площадями участков над осью.

Математически это выражается через интеграл. Перемещение за время от $t_1$ до $t_2$ равно:

$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$ (геометрически — площадь под графиком $v(t)$ с учётом знака)

А пройденный путь:

$s = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$ (геометрически — сумма площадей всех фигур, образованных графиком и осью времени, без учёта знака)

Ответ: Площадь фигуры под графиком зависимости скорости тела от времени численно равна перемещению этого тела. Пройденный путь будет численно равен этой площади только в том случае, если тело движется в одном направлении (скорость не меняет знак). В общем случае пройденный путь равен сумме площадей всех фигур, ограниченных графиком скорости и осью времени, взятых по абсолютному значению (по модулю).