Номер 7, страница 45 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 5. Примеры решения задач по кинематике - номер 7, страница 45.

Условие.

7. Брошенное вверх тело достигло верхней точки траектории через 2 с после начала движения. Какое расстояние пролетело это тело за вторую секунду движения? С каким промежутком времени это тело побывало на высоте 15 м?

Решение.

Дано:

$t_{подъема} = 2$ с

$h = 15$ м

$g \approx 10$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta h_{2с}$ — расстояние, пройденное за вторую секунду движения.

$\Delta t$ — промежуток времени, в течение которого тело находилось на высоте 15 м.

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным. Сопротивление воздуха не учитываем. Ускорение тела направлено вниз и равно ускорению свободного падения $\text{g}$. Примем $g \approx 10 \, м/с^2$.

Зависимость скорости тела от времени описывается формулой: $v(t) = v_0 - gt$, где $v_0$ — начальная скорость.

В верхней точке траектории (в момент времени $t_{подъема}$) скорость тела становится равной нулю. Используя это условие, найдем начальную скорость $v_0$:

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

$v_0 = g \cdot t_{подъема} = 10 \, м/с^2 \cdot 2 \, с = 20 \, м/с$

Какое расстояние пролетело это тело за вторую секунду движения?

Расстояние, пройденное телом за вторую секунду движения, — это разность между его высотой в конце второй секунды ($t_2 = 2$ с) и высотой в конце первой секунды ($t_1 = 1$ с). Высота тела в произвольный момент времени $\text{t}$ определяется по формуле: $h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$.

Найдем высоту тела в момент времени $t_2 = 2$ с:

$h(2) = 20 \cdot 2 - \frac{10 \cdot 2^2}{2} = 40 - \frac{10 \cdot 4}{2} = 40 - 20 = 20$ м.

Это максимальная высота подъема.

Найдем высоту тела в момент времени $t_1 = 1$ с:

$h(1) = 20 \cdot 1 - \frac{10 \cdot 1^2}{2} = 20 - \frac{10}{2} = 20 - 5 = 15$ м.

Теперь найдем расстояние, пройденное за вторую секунду:

$\Delta h_{2с} = h(2) - h(1) = 20 \, м - 15 \, м = 5$ м.

Ответ: за вторую секунду движения тело пролетело 5 м.

С каким промежутком времени это тело побывало на высоте 15 м?

Чтобы найти моменты времени, когда тело находилось на высоте $h = 15$ м, подставим известные значения в уравнение для высоты и решим его относительно времени $\text{t}$:

$h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

$15 = 20t - \frac{10t^2}{2}$

$15 = 20t - 5t^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5t^2 - 20t + 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 3$ с

Это означает, что тело находилось на высоте 15 м дважды: в момент $t_1 = 1$ с (при движении вверх) и в момент $t_2 = 3$ с (при движении вниз). Промежуток времени между этими двумя событиями равен их разности:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 3 \, с - 1 \, с = 2$ с.

Ответ: тело побывало на высоте 15 м с промежутком времени 2 с.