Номер 6, страница 45 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 5. Примеры решения задач по кинематике - номер 6, страница 45.

Условие.

6. Два тела бросили одновременно: первое — горизонтально со скоростью $3 \text{ м/с}$, а второе — вертикально вверх со скоростью $4 \text{ м/с}$. Чему равна относительная скорость этих тел через $2 \text{ с}$ после начала движения? Считайте, что оба тела находятся в этот момент времени ещё в полёте.

Решение.

Дано:

Начальная скорость первого тела: $v_{01} = 3$ м/с (горизонтально)

Начальная скорость второго тела: $v_{02} = 4$ м/с (вертикально вверх)

Время: $t = 2$ с

Ускорение свободного падения: $\vec{g}$

Найти:

$v_{отн}$ — модуль относительной скорости тел через 2 с.

Решение:

Определим векторы скоростей для каждого тела в любой момент времени $\text{t}$. Введем систему координат, в которой ось OX направлена горизонтально (вдоль начальной скорости первого тела), а ось OY — вертикально вверх. Начало отсчета совпадает с точкой броска.

Начальные скорости тел в векторной форме:

$\vec{v}_{01} = (3, 0)$ м/с

$\vec{v}_{02} = (0, 4)$ м/с

Оба тела движутся с одинаковым ускорением свободного падения $\vec{g}$, направленным вертикально вниз. В выбранной системе координат вектор ускорения $\vec{g} = (0, -g)$.

Скорость тела, движущегося с постоянным ускорением, определяется формулой $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$.

Для первого тела:

$\vec{v}_1(t) = \vec{v}_{01} + \vec{g}t = (3, 0) + (0, -g)t = (3, -gt)$

Для второго тела:

$\vec{v}_2(t) = \vec{v}_{02} + \vec{g}t = (0, 4) + (0, -g)t = (0, 4 - gt)$

Относительная скорость второго тела относительно первого — это векторная разность их скоростей:

$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_2(t) - \vec{v}_1(t)$

Вычислим проекции вектора относительной скорости на оси координат:

$v_{отн, x} = v_{2x}(t) - v_{1x}(t) = 0 - 3 = -3$ м/с

$v_{отн, y} = v_{2y}(t) - v_{1y}(t) = (4 - gt) - (-gt) = 4 - gt + gt = 4$ м/с

Таким образом, вектор относительной скорости: $\vec{v}_{отн} = (-3, 4)$ м/с.

Важно отметить, что вектор относительной скорости не зависит от времени $\text{t}$ и ускорения свободного падения $\text{g}$. Это связано с тем, что оба тела движутся с одинаковым ускорением, и при нахождении относительной скорости это ускорение взаимно сокращается. Следовательно, относительная скорость постоянна на протяжении всего полета.

Найдем модуль (величину) относительной скорости по теореме Пифагора:

$v_{отн} = |\vec{v}_{отн}| = \sqrt{v_{отн, x}^2 + v_{отн, y}^2}$

$v_{отн} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ м/с.

Ответ: 5 м/с.