Групповое задание, страница 37 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 4. Криволинейное движение - страница 37.

Условие.

Групповое задание

Учитель на доске пишет условие задачи (без вопроса): тело брошено под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$. Каждый ученик может поднять руку и, выйдя к доске, написать одну формулу для нахождения какой-либо величины через приведённые в условии данные. Выигрывает тот, после кого никто не сможет написать новой формулы в течение 20 секунд.

Решение.

Это задача-игра, цель которой — написать как можно больше различных формул, описывающих движение тела, брошенного под углом к горизонту. Решение состоит в перечислении этих формул, которые ученики могли бы написать на доске.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$ (постоянная величина)

Найти:

Все возможные формулы для нахождения физических величин, характеризующих движение тела, через $v_0$, $\alpha$ и $\text{g}$.

Решение:

Движение тела можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось OX) и равноускоренное по вертикали (ось OY). Начало координат (0,0) поместим в точку броска.

1. Горизонтальная проекция начальной скорости
Это составляющая начальной скорости, направленная вдоль горизонтальной оси. Она остается постоянной в течение всего полета (сопротивление воздуха не учитывается).
Ответ: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

2. Вертикальная проекция начальной скорости
Это составляющая начальной скорости, направленная вдоль вертикальной оси. Она изменяется под действием силы тяжести.
Ответ: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

3. Горизонтальная проекция скорости в момент времени t
Поскольку по горизонтали нет сил, действующих на тело, горизонтальная скорость не меняется.
Ответ: $v_x(t) = v_0 \cos\alpha$

4. Вертикальная проекция скорости в момент времени t
Вертикальная скорость уменьшается при подъеме и увеличивается при падении из-за ускорения свободного падения.
Ответ: $v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$

5. Горизонтальная координата тела в момент времени t
Координата тела по оси OX, которая изменяется со временем из-за равномерного движения.
Ответ: $x(t) = (v_0 \cos\alpha)t$

6. Вертикальная координата тела в момент времени t
Координата тела по оси OY (высота), которая изменяется со временем из-за равноускоренного движения.
Ответ: $y(t) = (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

7. Время подъема на максимальную высоту
Время, за которое тело достигает наивысшей точки своей траектории. В этот момент вертикальная составляющая скорости равна нулю ($v_y = 0$).
Ответ: $t_{подъема} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$

8. Максимальная высота подъема
Наибольшая высота, на которую поднимается тело. Можно найти, подставив время подъема в формулу для вертикальной координаты.
Ответ: $H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

9. Общее время полета
Полное время, которое тело проводит в воздухе, от момента броска до момента падения на ту же высоту. Для симметричной траектории оно вдвое больше времени подъема.
Ответ: $T = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$

10. Дальность полета
Горизонтальное расстояние, которое пролетает тело за все время полета.
Ответ: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

11. Уравнение траектории
Зависимость вертикальной координаты $\text{y}$ от горизонтальной $\text{x}$, описывающая форму траектории (параболу).
Ответ: $y(x) = x \tan\alpha - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\alpha}x^2$

12. Модуль скорости в момент времени t
Полная скорость тела в любой момент времени, находится по теореме Пифагора из ее компонент.
Ответ: $v(t) = \sqrt{(v_0 \cos\alpha)^2 + (v_0 \sin\alpha - gt)^2}$

13. Связь между дальностью полета и максимальной высотой
Соотношение, связывающее два ключевых параметра траектории.
Ответ: $H = \frac{L \tan\alpha}{4}$

14. Радиус кривизны траектории в высшей точке
В верхней точке траектории все ускорение ($\text{g}$) является центростремительным, а скорость равна горизонтальной составляющей.
Ответ: $R_H = \frac{v_x^2}{g} = \frac{v_0^2 \cos^2\alpha}{g}$

15. Кинетическая энергия в высшей точке траектории
Для нахождения этой и последующих энергетических величин необходимо ввести массу тела $\text{m}$. В верхней точке скорость минимальна и равна $v_x$.
Ответ: $K_H = \frac{m(v_0 \cos\alpha)^2}{2}$

16. Полная механическая энергия тела
В отсутствие сопротивления воздуха полная механическая энергия сохраняется и равна начальной кинетической энергии (при условии, что начальная потенциальная энергия равна нулю).
Ответ: $E = \frac{mv_0^2}{2}$