Номер 12, страница 22, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 2. Прямолинейное равномерное движение. Сложение скоростей - номер 12, страница 22.

Условие.

12. Выразите среднюю скорость тела $v_{cp}$ через $v_1$ и $v_2$, если пути, проходимые телом на каждом из двух участков, равны: $l_1 = l_2$.

Решение 2.

Дано:

Скорость на первом участке пути - $v_1$

Длина первого участка пути - $l_1$

Скорость на втором участке пути - $v_2$

Длина второго участка пути - $l_2$

$l_1 = l_2$

Найти:

$v_{ср}$

Решение:

Средняя путевая скорость $v_{ср}$ по определению равна отношению всего пройденного пути $\text{L}$ ко всему времени движения $\text{T}$:

$v_{ср} = \frac{L}{T}$

Весь пройденный путь $\text{L}$ равен сумме длин двух участков:

$L = l_1 + l_2$

Согласно условию, $l_1 = l_2$. Обозначим эту длину как $\text{l}$. Тогда весь путь равен:

$L = l + l = 2l$

Полное время движения $\text{T}$ равно сумме времен, затраченных на прохождение каждого участка:

$T = t_1 + t_2$

Время прохождения первого участка определяется как $t_1 = \frac{l_1}{v_1} = \frac{l}{v_1}$.

Время прохождения второго участка определяется как $t_2 = \frac{l_2}{v_2} = \frac{l}{v_2}$.

Следовательно, полное время движения равно:

$T = t_1 + t_2 = \frac{l}{v_1} + \frac{l}{v_2}$

Теперь подставим выражения для полного пути $\text{L}$ и полного времени $\text{T}$ в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{L}{T} = \frac{2l}{\frac{l}{v_1} + \frac{l}{v_2}}$

В знаменателе вынесем общий множитель $\text{l}$ за скобки:

$v_{ср} = \frac{2l}{l(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})}$

Сократим $\text{l}$ в числителе и знаменателе:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $v_1 v_2$:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}}$

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю (перевернем "трехэтажную" дробь):

$v_{ср} = 2 \cdot \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Полученное выражение является средним гармоническим скоростей $v_1$ и $v_2$.

Ответ:

$v_{ср} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$