Номер 13, страница 22, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 2. Прямолинейное равномерное движение. Сложение скоростей - номер 13, страница 22.

Условие.

13. Женя некоторое расстояние проехал на велосипеде со скоростью 15 км/ч, а потом ещё такое же расстояние прошёл, ведя рядом велосипед, со скоростью 5 км/ч. Чему равна средняя скорость Жени на всём пути?

Обратите внимание: в этом случае средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей на двух участках. Причина в том, что времена движения на этих участках не равны.

Решение 2.

Дано:

$v_1 = 15$ км/ч (скорость на велосипеде)

$v_2 = 5$ км/ч (скорость пешком)

Расстояние, пройденное на велосипеде, равно расстоянию, пройденному пешком. Обозначим это расстояние как $\text{S}$.

$S_1 = S_2 = S$

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 15 \text{ км/ч} = 15 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{150}{36} \text{ м/с} = \frac{25}{6} \text{ м/с} \approx 4.17 \text{ м/с}$

$v_2 = 5 \text{ км/ч} = 5 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{36} \text{ м/с} = \frac{25}{18} \text{ м/с} \approx 1.39 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{ср}$ — среднюю скорость на всём пути.

Решение:

Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ}$ состоит из двух одинаковых участков $\text{S}$:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = S + S = 2S$

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени движения на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2$

Время на каждом участке можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{v_1}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S}{v_2}$

Тогда общее время равно:

$t_{общ} = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2}$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{2S}{\frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2}}$

Можно вынести $\text{S}$ за скобки в знаменателе и сократить:

$v_{ср} = \frac{2S}{S(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Эта формула представляет собой среднее гармоническое двух скоростей и применяется, когда пройденные с этими скоростями расстояния равны.

Подставим числовые значения в км/ч, так как это упрощает вычисления:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 15 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ км/ч}}{15 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч}} = \frac{150}{20} \text{ км/ч} = 7.5 \text{ км/ч}$

Как указано в примечании к задаче, средняя скорость (7.5 км/ч) не равна среднему арифметическому скоростей $(\frac{15+5}{2} = 10 \text{ км/ч})$, так как время, затраченное на прохождение двух одинаковых участков пути с разной скоростью, не одинаково.

Ответ: средняя скорость Жени на всём пути равна 7.5 км/ч.