Номер 17, страница 24, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 2. Прямолинейное равномерное движение. Сложение скоростей - номер 17, страница 24.

Условие.

17. Автомобиль проехал некоторое расстояние со средней скоростью $v_{cp} = 80 \text{ км/ч}$. При этом одну пятую часть всего времени движения он ехал со скоростью $v_1 = 100 \text{ км/ч}$, а оставшееся время — со скоростью $v_2$.

а) Выразите среднюю скорость автомобиля на всём пути $v_{cp}$ через $v_1$, $v_2$, а также времена движения $t_1$ и $t_2$ с этими скоростями.

б) Выразите среднюю скорость автомобиля на всём пути $v_{cp}$ через $v_1$ и $v_2$ с учётом того, что $t_1 = \frac{t}{5}$, $t_2 = \frac{4t}{5}$, где $\text{t}$ — время всего движения.

в) Выразите $v_2$ через $v_{cp}$ и $v_1$.

г) Чему равна $v_2$?

Решение 2.

Дано:

$v_{ср} = 80$ км/ч

$v_1 = 100$ км/ч

$t_1 = \frac{1}{5}t_{общ}$

$t_2 = t_{общ} - t_1 = \frac{4}{5}t_{общ}$

$v_{ср} = 80 \text{ км/ч} = 80 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{200}{9} \text{ м/с}$

$v_1 = 100 \text{ км/ч} = 100 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{250}{9} \text{ м/с}$

Найти:

а) $v_{ср}(v_1, v_2, t_1, t_2) - ?$

б) $v_{ср}(v_1, v_2) - ?$

в) $v_2(v_{ср}, v_1) - ?$

г) $v_2 - ?$

Решение:

а) Выразите среднюю скорость автомобиля на всём пути $v_{ср}$ через $v_1$, $v_2$, а также времена движения $t_1$ и $t_2$ с этими скоростями.

Средняя скорость по определению равна отношению всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему затраченному времени $t_{общ}$.

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь состоит из двух участков: $S_1$, пройденного за время $t_1$ со скоростью $v_1$, и $S_2$, пройденного за время $t_2$ со скоростью $v_2$.

$S_1 = v_1 t_1$

$S_2 = v_2 t_2$

Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = v_1 t_1 + v_2 t_2$.

Общее время: $t_{общ} = t_1 + t_2$.

Подставив выражения для общего пути и времени, получаем искомую формулу:

$v_{ср} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2}{t_1 + t_2}$

Ответ: $v_{ср} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2}{t_1 + t_2}$

б) Выразите среднюю скорость автомобиля на всём пути $v_{ср}$ через $v_1$ и $v_2$ с учётом того, что $t_1 = t/5$, $t_2 = 4t/5$, где $\text{t}$ — время всего движения.

Подставим в формулу из пункта а) заданные соотношения для времени: $t_1 = t_{общ}/5$ и $t_2 = 4t_{общ}/5$.

$v_{ср} = \frac{v_1 (t_{общ}/5) + v_2 (4t_{общ}/5)}{t_{общ}/5 + 4t_{общ}/5} = \frac{v_1 (t_{общ}/5) + v_2 (4t_{общ}/5)}{t_{общ}}$

Вынесем $t_{общ}$ за скобки в числителе и сократим:

$v_{ср} = \frac{t_{общ}(\frac{1}{5}v_1 + \frac{4}{5}v_2)}{t_{общ}} = \frac{1}{5}v_1 + \frac{4}{5}v_2$

Это выражение можно записать в виде:

$v_{ср} = \frac{v_1 + 4v_2}{5}$

Ответ: $v_{ср} = \frac{v_1 + 4v_2}{5}$

в) Выразите $v_2$ через $v_{ср}$ и $v_1$.

Из формулы, полученной в пункте б), выразим $v_2$:

$v_{ср} = \frac{v_1 + 4v_2}{5}$

Умножим обе части уравнения на 5:

$5 v_{ср} = v_1 + 4v_2$

Перенесём $v_1$ в левую часть уравнения:

$5 v_{ср} - v_1 = 4v_2$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $v_2$:

$v_2 = \frac{5 v_{ср} - v_1}{4}$

Ответ: $v_2 = \frac{5 v_{ср} - v_1}{4}$

г) Чему равна $v_2$?

Для нахождения числового значения $v_2$ подставим в формулу из пункта в) известные значения $v_{ср} = 80$ км/ч и $v_1 = 100$ км/ч. Расчеты удобнее проводить в км/ч, так как все исходные данные представлены в этих единицах.

$v_2 = \frac{5 \cdot 80 - 100}{4}$

$v_2 = \frac{400 - 100}{4}$

$v_2 = \frac{300}{4}$

$v_2 = 75$ км/ч

Ответ: $v_2 = 75$ км/ч