Номер 21, страница 25, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 2. Прямолинейное равномерное движение. Сложение скоростей - номер 21, страница 25.

Условие.

21. Рыбак на моторной лодке переправляется через реку. При этом скорость лодки относительно воды перпендикулярна скорости течения и равна 2 м/с. Ширина реки 60 м, скорость течения 1 м/с. На рисунке 2.6 схематически показаны некоторые положения лодки во время переправы.

Рис. 2.6

а) Чему равен модуль скорости лодки относительно берега?

б) За какое время рыбак переправиться через реку?

в) На какое расстояние вдоль берега снесёт лодку за время переправы?

г) Чему равен угол между направлением скорости лодки относительно берега и перендикуляраом к берегу?

д) Чему равен модуль перемещения лодки относительно берега за время переправы?

Решение 2.

Дано:

Скорость лодки относительно воды, $v_{лв} = 2$ м/с
Ширина реки, $S_y = 60$ м
Скорость течения, $v_т = 1$ м/с
Вектор скорости лодки относительно воды перпендикулярен вектору скорости течения. Все данные уже в системе СИ.

Найти:

а) $v_{лб}$ - модуль скорости лодки относительно берега
б) $\text{t}$ - время переправы
в) $S_x$ - расстояние, на которое снесёт лодку вдоль берега
г) $\alpha$ - угол между направлением скорости лодки относительно берега и перпендикуляром к берегу
д) $S_{общ}$ - модуль перемещения лодки относительно берега

Решение:

а) Скорость лодки относительно берега ($v_{лб}$) является векторной суммой скорости лодки относительно воды ($v_{лв}$) и скорости течения ($v_т$): $\vec{v_{лб}} = \vec{v_{лв}} + \vec{v_т}$. Так как по условию эти векторы перпендикулярны, то модуль результирующей скорости можно найти по теореме Пифагора:

$v_{лб} = \sqrt{v_{лв}^2 + v_т^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.24$ м/с.

Ответ: Модуль скорости лодки относительно берега равен примерно $2.24$ м/с.

б) Время переправы через реку зависит только от ширины реки и составляющей скорости, перпендикулярной берегу. В данном случае это скорость лодки относительно воды $v_{лв}$.

$t = \frac{S_y}{v_{лв}} = \frac{60 \text{ м}}{2 \text{ м/с}} = 30$ с.

Ответ: Рыбак переправится через реку за $30$ с.

в) Расстояние, на которое снесёт лодку вдоль берега ($S_x$), зависит от скорости течения ($v_т$) и времени переправы ($\text{t}$).

$S_x = v_т \cdot t = 1 \text{ м/с} \cdot 30 \text{ с} = 30$ м.

Ответ: За время переправы лодку снесёт на $30$ м вдоль берега.

г) Угол $\alpha$ между направлением скорости лодки относительно берега ($\vec{v_{лб}}$) и перпендикуляром к берегу (направлением $\vec{v_{лв}}$) можно найти из прямоугольного треугольника скоростей. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($v_т$) к прилежащему ($v_{лв}$).

$\tan(\alpha) = \frac{v_т}{v_{лв}} = \frac{1}{2} = 0.5$.

$\alpha = \arctan(0.5) \approx 26.6^\circ$.

Ответ: Угол равен примерно $26.6^\circ$.

д) Модуль перемещения лодки относительно берега ($S_{общ}$) — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются ширина реки ($S_y$) и расстояние сноса вдоль берега ($S_x$).

$S_{общ} = \sqrt{S_y^2 + S_x^2} = \sqrt{60^2 + 30^2} = \sqrt{3600 + 900} = \sqrt{4500} = \sqrt{900 \cdot 5} = 30\sqrt{5} \approx 67.1$ м.

Также это можно рассчитать как произведение модуля скорости относительно берега на время переправы: $S_{общ} = v_{лб} \cdot t = \sqrt{5} \text{ м/с} \cdot 30 \text{ с} = 30\sqrt{5} \text{ м} \approx 67.1$ м.

Ответ: Модуль перемещения лодки относительно берега равен примерно $67.1$ м.