Номер 14, страница 22, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 2. Прямолинейное равномерное движение. Сложение скоростей - номер 14, страница 22.

Условие.

14. Докажите, что средняя скорость на двух участках равной длины всегда меньше средней скорости на двух участках, времена движения на которых равны. В обоих случаях тело движется на каждом участке с постоянной скоростью, но скорости тела на этих участках различны. Как можно обосновать это неравенство для средних скоростей, не проводя вычислений?

Итак, при решении задач на нахождение средней скорости учитывайте, что она далеко не всегда равна среднему арифметическому скоростей на отдельных участках движения!

Решение 2.

Докажите, что средняя скорость на двух участках равной длины всегда меньше средней скорости на двух участках, времена движения на которых равны

Решение

Рассмотрим два случая движения тела на двух участках пути. В обоих случаях скорости тела на участках различны ($v_1 \neq v_2$).

Случай 1: Движение на двух участках равной длины.

Пусть длина каждого участка равна $\text{S}$. Скорости на этих участках равны $v_1$ и $v_2$ соответственно.

Общий пройденный путь: $S_{общ} = S + S = 2S$.

Время, затраченное на прохождение первого участка: $t_1 = \frac{S}{v_1}$.

Время, затраченное на прохождение второго участка: $t_2 = \frac{S}{v_2}$.

Общее время движения: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2} = S \cdot (\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}) = S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$.

Средняя скорость в этом случае, которую обозначим $\text{<}v\text{>}_S$, равна отношению общего пути к общему времени:

$\text{<}v\text{>}_S = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

Эта величина называется средним гармоническим скоростей $v_1$ и $v_2$.

Случай 2: Движение в течение двух равных промежутков времени.

Пусть каждый промежуток времени равен $\text{t}$. Скорости на этих участках по-прежнему $v_1$ и $v_2$.

Общее время движения: $t_{общ} = t + t = 2t$.

Путь, пройденный за первый промежуток времени: $S_1 = v_1 t$.

Путь, пройденный за второй промежуток времени: $S_2 = v_2 t$.

Общий пройденный путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = v_1 t + v_2 t = t(v_1 + v_2)$.

Средняя скорость в этом случае, которую обозначим $\text{<}v\text{>}_t$, равна:

$\text{<}v\text{>}_t = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{t(v_1 + v_2)}{2t} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.

Эта величина является средним арифметическим скоростей $v_1$ и $v_2$.

Сравнение средних скоростей.

Нам необходимо доказать неравенство $\text{<}v\text{>}_S < \text{<}v\text{>}_t$, то есть:

$\frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} < \frac{v_1 + v_2}{2}$

Так как скорости $v_1$ и $v_2$ являются положительными величинами, то и их сумма $v_1 + v_2$ положительна. Умножим обе части неравенства на $2(v_1 + v_2) > 0$, знак неравенства при этом не изменится:

$4v_1 v_2 < (v_1 + v_2)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$4v_1 v_2 < v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2$

Свернем правую часть по формуле квадрата разности:

$0 < (v_1 - v_2)^2$

Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда положителен. По условию задачи, скорости на участках различны, то есть $v_1 \neq v_2$, следовательно, $v_1 - v_2 \neq 0$. Значит, $(v_1 - v_2)^2 > 0$, и исходное неравенство является верным.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Мы доказали, что средняя скорость на двух участках равной длины (среднее гармоническое) всегда меньше средней скорости на двух участках, времена движения на которых равны (среднее арифметическое), при условии, что скорости на участках различны. Это следует из известного неравенства Коши для среднего арифметического и среднего гармонического, которое утверждает, что $\frac{v_1+v_2}{2} \ge \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$, причем равенство достигается только при $v_1=v_2$.

Как можно обосновать это неравенство для средних скоростей, не проводя вычислений?

Решение

Средняя путевая скорость по определению — это весь путь, деленный на всё время. Её можно также рассматривать как среднее значение скоростей на отдельных участках, взвешенное по времени движения на каждом из них. Чем больше времени тело движется с определенной скоростью, тем больший вклад эта скорость вносит в итоговую среднюю скорость.

Рассмотрим два случая, пусть для определенности $v_1 < v_2$.

В случае, когда участки имеют равную длину $\text{S}$, время движения на них будет различным. На участке с меньшей скоростью $v_1$ тело затратит больше времени ($t_1 = S/v_1$), чем на участке с большей скоростью $v_2$ ($t_2 = S/v_2$), так как $t_1 > t_2$. Поскольку тело дольше движется с меньшей скоростью, эта меньшая скорость оказывает большее влияние на среднюю скорость. В результате средняя скорость "смещается" в сторону меньшего значения $v_1$.

В случае, когда времена движения $\text{t}$ на участках равны, скорости $v_1$ и $v_2$ вносят одинаковый "вклад" в среднюю скорость. Средняя скорость в этом случае является просто средним арифметическим ($\frac{v_1+v_2}{2}$) и находится ровно посередине между $v_1$ и $v_2$.

Сравнивая эти два случая, мы видим, что при движении по участкам равной длины средняя скорость "сдвигается" к меньшему из двух значений скорости. В то время как при движении в течение равных промежутков времени средняя скорость является их точным средним значением (серединой отрезка между $v_1$ и $v_2$). Следовательно, средняя скорость в первом случае всегда будет меньше, чем во втором.

Ответ: При движении по двум участкам равной длины тело проводит больше времени на том участке, где его скорость меньше. Поэтому меньшая скорость вносит больший вклад в итоговую среднюю скорость, смещая ее значение в меньшую сторону по сравнению со средним арифметическим, которое получается при движении в течение равных промежутков времени.