Номер 11, страница 34, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 3. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 11, страница 34.

Условие.

°11. Тело движется вдоль оси $\text{x}$. Докажите, что

если начальная координата тела равна $x_0$, то зависимость координаты от времени выражается формулой

$x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Решение 2.

Дано:

Тело движется вдоль оси $\text{x}$ с постоянным ускорением $a_x$.

Начальная координата тела в момент времени $t=0$ равна $x_0$.

Начальная скорость тела в момент времени $t=0$ равна $v_{0x}$.

Доказать:

Зависимость координаты от времени выражается формулой $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Решение:

Движение тела с постоянным ускорением называется равноускоренным. При таком движении зависимость проекции скорости $v_x$ на ось $\text{x}$ от времени $\text{t}$ является линейной и описывается уравнением:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

где $v_{0x}$ - проекция начальной скорости, а $a_x$ - проекция ускорения.

Перемещение тела $s_x$ за промежуток времени от $\text{0}$ до $\text{t}$ в кинематике равно площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v_x(t)$. Для равноускоренного движения этот график представляет собой прямую линию, а фигура под ним на интервале от $\text{0}$ до $\text{t}$ является трапецией.

Основаниями этой трапеции являются значения скорости в начальный момент времени ($t=0$) и в конечный момент времени ($\text{t}$). Они равны $v_{0x}$ и $v_x(t)$ соответственно. Высотой трапеции является промежуток времени $\text{t}$.

Площадь трапеции, а следовательно, и перемещение $s_x$, вычисляется по формуле:

$s_x = \frac{v_{0x} + v_x(t)}{2} \cdot t$

Подставим в эту формулу выражение для конечной скорости $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$:

$s_x = \frac{v_{0x} + (v_{0x} + a_x t)}{2} \cdot t$

Упростим полученное выражение:

$s_x = \frac{2v_{0x} + a_x t}{2} \cdot t = \left(\frac{2v_{0x}}{2} + \frac{a_x t}{2}\right) \cdot t = \left(v_{0x} + \frac{a_x t}{2}\right) \cdot t$

$s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

С другой стороны, перемещение $s_x$ по определению является разностью между конечной координатой $\text{x}$ и начальной координатой $x_0$:

$s_x = x - x_0$

Приравняв два полученных выражения для перемещения $s_x$, получаем:

$x - x_0 = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Наконец, выразим конечную координату $\text{x}$, перенеся $x_0$ в правую часть уравнения:

$x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Таким образом, мы доказали искомую формулу. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказательство основано на геометрическом смысле перемещения при равноускоренном движении. Перемещение равно площади трапеции под графиком скорости $v_x(t)$. Вычисление этой площади и использование определения перемещения ($s_x = x - x_0$) приводит к требуемой формуле зависимости координаты от времени: $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.