Номер 15, страница 35, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 3. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 15, страница 35.

Условие.

15. Тело движется прямолинейно равноускоренно в одном направлении. Докажите, что если модуль начальной скорости равен $v_0$ и скорость тела уменьшается, то конечная скорость $v = v_0 - at$, а зависимость пути от времени выражается формулой $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$, где $\text{a}$ — модуль ускорения.

Решение 2.

Дано:
Движение прямолинейное, равноускоренное.
Начальная скорость: $v_0$.
Скорость тела уменьшается.
Модуль ускорения: $\text{a}$.

Найти:
Доказать, что $v = v_0 - at$ и $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$.

Решение:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение. В общем векторном виде зависимость скорости от времени и перемещения от времени описываются следующими уравнениями:
$\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$
$\vec{s} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$

Поскольку движение прямолинейное, введем систему координат. Направим ось $OX$ по направлению начальной скорости $\vec{v_0}$.

В этом случае проекция начальной скорости на ось $OX$ будет равна ее модулю: $v_{0x} = v_0$.

По условию задачи скорость тела уменьшается. Это означает, что вектор ускорения $\vec{a}$ направлен в сторону, противоположную вектору скорости $\vec{v_0}$. Так как ось $OX$ сонаправлена с вектором $\vec{v_0}$, то вектор ускорения $\vec{a}$ будет направлен против оси $OX$.

Следовательно, проекция ускорения на ось $OX$ будет отрицательной и равной модулю ускорения со знаком минус: $a_x = -a$.

Теперь запишем уравнения движения в проекциях на ось $OX$:
Для скорости: $v_x = v_{0x} + a_x t$. Подставляя наши значения, получаем: $v_x = v_0 - at$. Поскольку тело движется в одном направлении, его конечная скорость $\text{v}$ в любой момент времени $\text{t}$ (до возможной остановки) равна проекции скорости $v_x$. Таким образом, мы доказали первую формулу:
$v = v_0 - at$.

Для перемещения: $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$. Подставляя наши значения, получаем:
$s_x = v_0 t + \frac{(-a)t^2}{2} = v_0 t - \frac{at^2}{2}$.

Так как тело движется в одном направлении (не меняет его), пройденный путь $\text{l}$ равен модулю перемещения, а в данном случае — его проекции $s_x$. Таким образом, мы доказали вторую формулу:
$l = v_0 t - \frac{at^2}{2}$.

Ответ: Формулы для конечной скорости $v = v_0 - at$ и пути $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$ для равнозамедленного прямолинейного движения доказаны.