Номер 20, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 3. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 20, страница 36.

Условие.

20. Автомобиль въехал на некоторый участок дороги со скоростью $v_1 = 40 \text{ км/ч}$, а съехал с него через время $t = 2 \text{ мин}$ со скоростью $v_2 = 80 \text{ км/ч}$. На всём участке дороги автомобиль двигался прямолинейно равноускоренно.

a) Выведите формулу, выражающую длину данного участка дороги $\text{d}$ через $v_1$, $v_2$ и $\text{t}$.

б) Чему равна длина данного участка дороги?

Решение 2.

а) Выведите формулу, выражающую длину данного участка дороги d через v₁, v₂ и t.

Движение автомобиля на данном участке является прямолинейным и равноускоренным. Для такого движения путь $\text{d}$ можно найти по формуле:

$d = v_1 t + \frac{at^2}{2}$

где $v_1$ — начальная скорость, $\text{t}$ — время движения, а $\text{a}$ — ускорение.

Ускорение $\text{a}$ по определению равно изменению скорости, деленному на время, за которое это изменение произошло:

$a = \frac{v_2 - v_1}{t}$

где $v_2$ — конечная скорость.

Теперь подставим выражение для ускорения $\text{a}$ в формулу для пути $\text{d}$:

$d = v_1 t + \frac{1}{2} \left( \frac{v_2 - v_1}{t} \right) t^2 = v_1 t + \frac{(v_2 - v_1)t}{2}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$d = \frac{2v_1 t}{2} + \frac{v_2 t - v_1 t}{2} = \frac{2v_1 t + v_2 t - v_1 t}{2} = \frac{v_1 t + v_2 t}{2}$

Вынесем общий множитель $\text{t}$ за скобки в числителе, чтобы получить итоговую формулу:

$d = \frac{(v_1 + v_2)t}{2}$

Эту же формулу можно получить, зная, что при равноускоренном движении путь равен произведению средней скорости на время. Средняя скорость в этом случае равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей: $v_{ср} = \frac{v_1 + v_2}{2}$. Следовательно, путь $d = v_{ср} \cdot t = \frac{(v_1 + v_2)t}{2}$.

Ответ: $d = \frac{(v_1 + v_2)t}{2}$

б) Чему равна длина данного участка дороги?

Дано:

$v_1 = 40$ км/ч

$v_2 = 80$ км/ч

$t = 2$ мин

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 40 \, \frac{км}{ч} = 40 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = \frac{400}{36} \, \frac{м}{с} = \frac{100}{9} \, \frac{м}{с}$

$v_2 = 80 \, \frac{км}{ч} = 80 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = \frac{800}{36} \, \frac{м}{с} = \frac{200}{9} \, \frac{м}{с}$

$t = 2 \, мин = 2 \cdot 60 \, с = 120 \, с$

Найти:

$\text{d}$ — ?

Решение:

Для нахождения длины участка дороги воспользуемся формулой, полученной в пункте а):

$d = \frac{(v_1 + v_2)t}{2}$

Подставим в формулу числовые значения в системе СИ:

$d = \frac{(\frac{100}{9} \, \frac{м}{с} + \frac{200}{9} \, \frac{м}{с}) \cdot 120 \, с}{2} = \frac{(\frac{300}{9} \, \frac{м}{с}) \cdot 120 \, с}{2}$

$d = \frac{\frac{100}{3} \, \frac{м}{с} \cdot 120 \, с}{2} = \frac{100 \cdot 40 \, м}{2} = \frac{4000 \, м}{2} = 2000 \, м$

Длина участка дороги составляет 2000 метров, что равно 2 километрам.

Ответ: 2000 м (или 2 км).