Номер 24, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 3. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 24, страница 36.

Условие.

24. Автомобиль движется равноускоренно с некоторой начальной скоростью. За первую секунду автомобиль проехал 8 м, а за вторую — 10 м.

a) Обозначьте ускорение автомобиля $\text{a}$, его скорость в начале первой секунды $v_1$, в начале второй — $v_2$; промежуток времени продолжительностью 1 с обозначьте $\tau$, а пути, пройденные за первую и вторую секунды наблюдения, обозначьте $l_1$ и $l_2$. Запишите систему уравнений для описанной ситуации.

б) Выведите соотношение, связывающее $l_1$, $l_2$, $\text{a}$ и $\tau$.

в) Чему равно ускорение автомобиля?

г) Какой путь проедет автомобиль за третью секунду, если будет продолжать двигаться с тем же ускорением?

д) Найдите устно, какой путь проедет автомобиль за шестую секунду наблюдения.

Решение 2.

Дано:

$l_1 = 8$ м (путь за первую секунду)
$l_2 = 10$ м (путь за вторую секунду)
$\tau = 1$ с (продолжительность каждого промежутка времени)

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

а) Систему уравнений для описанной ситуации.
б) Соотношение, связывающее $l_1, l_2, a$ и $\tau$.
в) Ускорение автомобиля $\text{a}$.
г) Путь за третью секунду $l_3$.
д) Путь за шестую секунду $l_6$.

Решение:

а) Обозначим ускорение автомобиля как $\text{a}$, его скорость в начале первой секунды (начальную скорость) как $v_1$, скорость в начале второй секунды как $v_2$. Промежуток времени $\tau = 1$ с. Пути, пройденные за первую и вторую секунды, — $l_1$ и $l_2$.

Движение равноускоренное, поэтому путь, пройденный за промежуток времени $\tau$, определяется формулой $S = v_{нач}\tau + \frac{a\tau^2}{2}$, где $v_{нач}$ — скорость в начале этого промежутка.

Для первой секунды ($l_1$):

$l_1 = v_1\tau + \frac{a\tau^2}{2}$

Для второй секунды ($l_2$) начальной скоростью является скорость в конце первой секунды, то есть $v_2$:

$l_2 = v_2\tau + \frac{a\tau^2}{2}$

Скорость $v_2$ связана со скоростью $v_1$ и ускорением $\text{a}$ соотношением: $v_2 = v_1 + a\tau$.

Таким образом, система уравнений, описывающая ситуацию, выглядит так:

$\begin{cases} l_1 = v_1\tau + \frac{a\tau^2}{2} \\ l_2 = v_2\tau + \frac{a\tau^2}{2} \\ v_2 = v_1 + a\tau \end{cases}$

Ответ: $\begin{cases} l_1 = v_1\tau + \frac{a\tau^2}{2} \\ l_2 = v_2\tau + \frac{a\tau^2}{2} \\ v_2 = v_1 + a\tau \end{cases}$

б) Чтобы вывести соотношение, связывающее $l_1, l_2, a$ и $\tau$, исключим скорости $v_1$ и $v_2$ из полученной системы.

Подставим третье уравнение ($v_2 = v_1 + a\tau$) во второе:

$l_2 = (v_1 + a\tau)\tau + \frac{a\tau^2}{2} = v_1\tau + a\tau^2 + \frac{a\tau^2}{2}$

Из первого уравнения выразим произведение $v_1\tau$: $v_1\tau = l_1 - \frac{a\tau^2}{2}$.

Подставим это выражение для $v_1\tau$ в преобразованное второе уравнение:

$l_2 = \left(l_1 - \frac{a\tau^2}{2}\right) + a\tau^2 + \frac{a\tau^2}{2}$

Упростив выражение, получим:

$l_2 = l_1 + a\tau^2$

Это и есть искомое соотношение. Его также можно записать в виде $l_2 - l_1 = a\tau^2$.

Ответ: $l_2 - l_1 = a\tau^2$

в) Используем соотношение, полученное в пункте б), для нахождения ускорения автомобиля.

Из формулы $l_2 - l_1 = a\tau^2$ выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{l_2 - l_1}{\tau^2}$

Подставим числовые значения из условия: $l_1 = 8$ м, $l_2 = 10$ м, $\tau = 1$ с.

$a = \frac{10 \text{ м} - 8 \text{ м}}{(1 \text{ с})^2} = \frac{2 \text{ м}}{1 \text{ с}^2} = 2 \text{ м/с}^2$

Ответ: $2 \text{ м/с}^2$.

г) При равноускоренном движении пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, образуют арифметическую прогрессию. Разность этой прогрессии равна $d = a\tau^2$.

Найдем эту разность:

$d = 2 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ с})^2 = 2 \text{ м}$

Путь, пройденный за третью секунду ($l_3$), будет на $\text{d}$ больше пути, пройденного за вторую секунду ($l_2$):

$l_3 = l_2 + d = 10 \text{ м} + 2 \text{ м} = 12 \text{ м}$

Ответ: $12 \text{ м}$.

д) Для нахождения пути за шестую секунду ($l_6$) продолжим арифметическую прогрессию, где первый член $l_1=8$ м, а разность $d=2$ м.

Можно найти $l_6$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $l_n = l_1 + (n-1)d$.

$l_6 = l_1 + (6-1)d = 8 \text{ м} + 5 \cdot 2 \text{ м} = 8 \text{ м} + 10 \text{ м} = 18 \text{ м}$

Или, продолжая последовательность:

$l_1 = 8$ м
$l_2 = 10$ м
$l_3 = 12$ м
$l_4 = 14$ м
$l_5 = 16$ м
$l_6 = 18$ м

Ответ: $18 \text{ м}$.