Номер 25, страница 37, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 3. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 25, страница 37.

Условие.

25. Докажите, что пути, проходимые за равные последовательные промежутки времени при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, относятся как последовательные нечётные числа, начиная с единицы:

$l_1 : l_2 : l_3... = 1 : 3 : 5...$

Решение 2.

Дано:

Движение прямолинейное, равноускоренное ($a = const$).

Начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$).

Рассматриваются равные последовательные промежутки времени $\Delta t$.

$l_n$ - путь, пройденный за n-й промежуток времени.

Найти:

Доказать, что $l_1 : l_2 : l_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Решение

Формула пути для прямолинейного равноускоренного движения имеет вид:

$S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Согласно условию, начальная скорость $v_0 = 0$. Тогда формула упрощается:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

Пусть $\tau$ — длительность одного равного промежутка времени. Найдем полный путь $S_n$, пройденный телом от начала движения ($t=0$) до конца n-го промежутка времени (момент времени $t_n = n\tau$).

$S_n = S(n\tau) = \frac{a(n\tau)^2}{2} = n^2 \frac{a\tau^2}{2}$

Путь $l_n$, пройденный за n-й промежуток времени, — это разность между полным путем, пройденным за $\text{n}$ промежутков, и полным путем, пройденным за $n-1$ промежутков.

$l_n = S_n - S_{n-1}$

Найдем пути для первых нескольких промежутков:

Путь за первый промежуток времени ($n=1$):

$l_1 = S_1 - S_0 = \frac{a(1\tau)^2}{2} - 0 = 1 \cdot \frac{a\tau^2}{2}$

Путь за второй промежуток времени ($n=2$):

$l_2 = S_2 - S_1 = \frac{a(2\tau)^2}{2} - \frac{a(1\tau)^2}{2} = (2^2 - 1^2) \frac{a\tau^2}{2} = (4 - 1) \frac{a\tau^2}{2} = 3 \cdot \frac{a\tau^2}{2}$

Путь за третий промежуток времени ($n=3$):

$l_3 = S_3 - S_2 = \frac{a(3\tau)^2}{2} - \frac{a(2\tau)^2}{2} = (3^2 - 2^2) \frac{a\tau^2}{2} = (9 - 4) \frac{a\tau^2}{2} = 5 \cdot \frac{a\tau^2}{2}$

Выведем общую формулу для пути $l_n$, пройденного за n-й промежуток времени:

$l_n = S_n - S_{n-1} = n^2 \frac{a\tau^2}{2} - (n-1)^2 \frac{a\tau^2}{2} = (n^2 - (n-1)^2) \frac{a\tau^2}{2}$

Используя формулу разности квадратов, упростим выражение в скобках:

$n^2 - (n-1)^2 = (n - (n-1))(n + (n-1)) = (1)(2n - 1) = 2n-1$

Таким образом, формула для пути за n-й промежуток времени:

$l_n = (2n-1) \frac{a\tau^2}{2}$

Теперь составим отношение путей $l_1 : l_2 : l_3 : \dots$:

$l_1 : l_2 : l_3 : \dots = \left(1 \cdot \frac{a\tau^2}{2}\right) : \left(3 \cdot \frac{a\tau^2}{2}\right) : \left(5 \cdot \frac{a\tau^2}{2}\right) : \dots$

Сократив общий множитель $\frac{a\tau^2}{2}$ в каждом члене отношения, получаем:

$l_1 : l_2 : l_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Это и есть последовательность нечетных чисел, начиная с единицы. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано, что пути, проходимые за равные последовательные промежутки времени при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, относятся как последовательные нечётные числа, начиная с единицы: $1 : 3 : 5 : \dots$