Номер 22, страница 36, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 3. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 22, страница 36.

Условие.

22. Электричка отошла от станции, разгонялась с постоянным ускорением, затем в течение времени $t_p = 1$ мин ехала с постоянной скоростью, а потом тормозила с постоянным ускорением до остановки на следующей станции. Расстояние между станциями $d = 2$ км электричка проехала за время $t = 3$ мин. Ускорения электрички при разгоне и торможении различны по модулю.

a) Начертите примерный график зависимости модуля скорости электрички от времени.

б) Обозначьте $v_p$ модуль скорости равномерного движения электрички. Выведите формулу, выражающую расстояние между станциями $\text{d}$ через $v_p$, $t_p$ и $\text{t}$.

в) Чему равен модуль скорости равномерного движения электрички?

Решение 2.

а) Начертите примерный график зависимости модуля скорости электрички от времени.

График зависимости модуля скорости от времени $v(t)$ для такого движения представляет собой трапецию, расположенную в первой координатной четверти.

1. Участок разгона: движение начинается из состояния покоя, поэтому график выходит из начала координат ($t=0, v=0$). Так как ускорение постоянно, скорость линейно возрастает. Этот участок представляет собой прямую линию с положительным наклоном, которая заканчивается в момент времени $t_1$, когда скорость достигает максимального значения $v_p$.

2. Участок равномерного движения: в течение времени $t_p$ (от $t_1$ до $t_1+t_p$) электричка движется с постоянной скоростью $v_p$. На графике это горизонтальная прямая линия на уровне $v=v_p$.

3. Участок торможения: электричка тормозит с постоянным ускорением (отрицательным) до полной остановки. Скорость линейно уменьшается от $v_p$ до $\text{0}$. На графике это прямая линия с отрицательным наклоном, которая начинается в момент времени $t_1+t_p$ и заканчивается на оси времени в момент $\text{t}$, равный общему времени движения.

Поскольку в условии сказано, что ускорения при разгоне и торможении различны по модулю, то углы наклона прямолинейных участков разгона и торможения к оси времени будут разными.

Ответ: График зависимости модуля скорости от времени имеет форму трапеции.

б) Обозначьте $v_p$ модуль скорости равномерного движения электрички. Выведите формулу, выражающую расстояние между станциями $\text{d}$ через $v_p$, $t_p$ и $\text{t}$.

Пройденный путь $\text{d}$ численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. Как было установлено в пункте (а), эта фигура является трапецией.

Высота этой трапеции равна максимальной скорости $v_p$. Верхнее основание трапеции равно времени равномерного движения $t_p$. Нижнее основание равно полному времени движения $\text{t}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — основания, а $\text{h}$ — высота.

Подставляя наши значения, получаем формулу для расстояния $\text{d}$:

$d = \frac{t + t_p}{2} \cdot v_p$

Альтернативный вывод:

Общий путь $\text{d}$ можно представить как сумму путей на трех участках: разгона ($d_1$), равномерного движения ($d_p$) и торможения ($d_2$).

$d = d_1 + d_p + d_2$

Обозначим время разгона как $t_1$, а время торможения как $t_2$.

Путь при равномерном движении: $d_p = v_p \cdot t_p$.

Путь при разгоне (движение с начальной скоростью 0 до $v_p$): $d_1 = \frac{0 + v_p}{2}t_1 = \frac{v_p t_1}{2}$.

Путь при торможении (движение от $v_p$ до 0): $d_2 = \frac{v_p + 0}{2}t_2 = \frac{v_p t_2}{2}$.

Суммируем пути: $d = \frac{v_p t_1}{2} + v_p t_p + \frac{v_p t_2}{2} = v_p \left( \frac{t_1 + t_2}{2} + t_p \right)$.

Общее время движения $t = t_1 + t_p + t_2$. Отсюда суммарное время разгона и торможения $t_1 + t_2 = t - t_p$.

Подставим это выражение в формулу для $\text{d}$:

$d = v_p \left( \frac{t - t_p}{2} + t_p \right) = v_p \left( \frac{t - t_p + 2t_p}{2} \right) = v_p \frac{t + t_p}{2}$

Ответ: $d = \frac{v_p(t + t_p)}{2}$

в) Чему равен модуль скорости равномерного движения электрички?

Дано:

$d = 2$ км

$t = 3$ мин

$t_p = 1$ мин

Переведем данные в систему СИ:

$d = 2 \text{ км} = 2 \cdot 1000 \text{ м} = 2000 \text{ м}$

$t = 3 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ с} = 180 \text{ с}$

$t_p = 1 \text{ мин} = 1 \cdot 60 \text{ с} = 60 \text{ с}$

Найти:

$v_p$

Решение:

Воспользуемся формулой, выведенной в пункте (б):

$d = \frac{v_p(t + t_p)}{2}$

Выразим из этой формулы скорость $v_p$:

$v_p = \frac{2d}{t + t_p}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_p = \frac{2 \cdot 2000 \text{ м}}{180 \text{ с} + 60 \text{ с}} = \frac{4000 \text{ м}}{240 \text{ с}} = \frac{400}{24} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 16,7 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем скорость в км/ч для наглядности:

$v_p = \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{50}{3} \cdot 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 50 \cdot 1,2 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: Модуль скорости равномерного движения электрички равен $\frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}}$ (приблизительно $16,7 \frac{\text{м}}{\text{с}}$) или $60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.