Номер 14, страница 35, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 3. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 14, страница 35.

Условие.

14. Тело движется прямолинейно равноускоренно в одном направлении. Модуль начальной скорости тела $v_0$, модуль конечной скорости $\text{v}$, модуль ускорения $\text{a}$. Докажите, что если скорость тела увеличивается, то

$l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}.$

Решение 2.

Дано:

Движение тела — прямолинейное, равноускоренное, в одном направлении.
Скорость тела увеличивается ($v > v_0$).
$v_0$ – модуль начальной скорости.
$\text{v}$ – модуль конечной скорости.
$\text{a}$ – модуль ускорения.
$\text{l}$ – пройденный путь.

Найти:

Доказать, что $l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основными уравнениями кинематики для равноускоренного прямолинейного движения.

Уравнение зависимости скорости от времени: $v = v_0 + at$ (1)

Уравнение зависимости пройденного пути от времени: $l = v_0t + \frac{at^2}{2}$ (2)

Поскольку по условию скорость тела увеличивается, векторы начальной скорости и ускорения сонаправлены. Это позволяет нам использовать скалярные уравнения с положительными знаками для всех величин.

Искомая формула не содержит времени $\text{t}$. Чтобы его исключить, выразим $\text{t}$ из уравнения (1):

$v - v_0 = at$

$t = \frac{v - v_0}{a}$

Теперь подставим полученное выражение для времени $\text{t}$ в уравнение пути (2):

$l = v_0 \left( \frac{v - v_0}{a} \right) + \frac{a}{2} \left( \frac{v - v_0}{a} \right)^2$

Выполним алгебраические преобразования. Раскроем скобки:

$l = \frac{v_0v - v_0^2}{a} + \frac{a}{2} \frac{(v - v_0)^2}{a^2}$

Сократим $\text{a}$ во втором слагаемом и раскроем квадрат разности:

$l = \frac{v_0v - v_0^2}{a} + \frac{v^2 - 2vv_0 + v_0^2}{2a}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2a$:

$l = \frac{2(v_0v - v_0^2)}{2a} + \frac{v^2 - 2vv_0 + v_0^2}{2a}$

Сложим числители:

$l = \frac{2v_0v - 2v_0^2 + v^2 - 2vv_0 + v_0^2}{2a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $2v_0v$ и $-2vv_0$ взаимно уничтожаются; $-2v_0^2 + v_0^2 = -v_0^2$.

В результате получаем:

$l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Путем исключения времени $\text{t}$ из системы уравнений, описывающих равноускоренное движение ($v = v_0 + at$ и $l = v_0t + \frac{at^2}{2}$), была доказана справедливость формулы $l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$ для заданных условий.