Номер 21, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 21, страница 42.

Условие.

21. Два тела одновременно бросили вверх. Второе тело упало на землю на 4 с позже, чем первое. Насколько начальная скорость второго тела больше, чем начальная скорость первого тела?

Решение 2.

Дано:

Разница во времени полета тел, $Δt = 4$ с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Разницу начальных скоростей, $Δv₀ = v_{02} - v_{01}$

Решение:

Запишем уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v₀$ от поверхности земли (начальная координата $y₀ = 0$):

$y(t) = v₀t - \frac{gt²}{2}$

где $y(t)$ — высота тела над землей в момент времени $\text{t}$.

Время полета $\text{T}$ — это время, через которое тело вернется на землю, то есть его координата $\text{y}$ снова станет равной нулю. Найдем это время из уравнения движения, приравняв $y(T)$ к нулю:

$v₀T - \frac{gT²}{2} = 0$

Вынесем $\text{T}$ за скобки:

$T(v₀ - \frac{gT}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T = 0$, что соответствует моменту броска, и $v₀ - \frac{gT}{2} = 0$, что соответствует моменту падения. Из второго решения находим время полета:

$T = \frac{2v₀}{g}$

Из этой формулы мы можем выразить начальную скорость $v₀$ через время полета $\text{T}$:

$v₀ = \frac{gT}{2}$

Применим это соотношение для обоих тел. Пусть $v_{01}$ и $T₁$ — начальная скорость и время полета первого тела, а $v_{02}$ и $T₂$ — второго тела.

$v_{01} = \frac{gT₁}{2}$

$v_{02} = \frac{gT₂}{2}$

Нас интересует, на сколько начальная скорость второго тела больше, чем у первого. Найдем разницу скоростей $Δv₀ = v_{02} - v_{01}$:

$Δv₀ = \frac{gT₂}{2} - \frac{gT₁}{2} = \frac{g}{2}(T₂ - T₁)$

По условию задачи, второе тело упало на 4 секунды позже первого, значит, разница во времени их полета $T₂ - T₁ = Δt = 4$ с. Подставим это значение в нашу формулу:

$Δv₀ = \frac{g}{2}Δt$

Теперь подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $\text{g}$ равным 10 м/с²:

$Δv₀ = \frac{10 \text{ м/с²}}{2} \cdot 4 \text{ с} = 5 \text{ м/с²} \cdot 4 \text{ с} = 20 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость второго тела больше начальной скорости первого тела на 20 м/с.