Номер 22, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 22, страница 42.

Условие.

22. Как связано время полёта тела $t_{\text{пол}}$ от момента броска до момента падения на землю с временем подъёма тела $t_{\text{под}}$ до верхней точки траектории?

Решение 2.

При движении тела, брошенного под углом к горизонту или вертикально вверх, в поле силы тяжести Земли, его полёт (при пренебрежении сопротивлением воздуха) является симметричным. Траектория представляет собой параболу. Это означает, что время, которое тело затрачивает на подъём до максимальной высоты, равно времени, которое оно затрачивает на падение с этой высоты обратно на первоначальный уровень.

Решение

Давайте докажем это математически. Движение тела по вертикали описывается уравнениями равноускоренного движения с ускорением $a_y = -g$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения, а ось OY направлена вертикально вверх.

Уравнение зависимости вертикальной составляющей скорости $v_y$ от времени $\text{t}$ имеет вид:

$v_y(t) = v_{0y} - gt$

где $v_{0y}$ – начальная вертикальная скорость.

Время подъёма ($t_{под}$) — это время, необходимое для достижения верхней точки траектории. В этой точке вертикальная составляющая скорости тела обращается в ноль ($v_y = 0$). Подставим это значение в уравнение:

$0 = v_{0y} - g \cdot t_{под}$

Отсюда можно выразить время подъёма:

$t_{под} = \frac{v_{0y}}{g}$

Полное время полёта ($t_{пол}$) — это время от момента броска до момента падения на землю (то есть до возвращения на начальную высоту). Уравнение для вертикальной координаты $\text{y}$ от времени $\text{t}$ (при условии, что тело брошено с высоты $y_0 = 0$) выглядит так:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

В момент падения тело возвращается на начальную высоту, то есть $y(t_{пол}) = 0$.

$0 = v_{0y}t_{пол} - \frac{gt_{пол}^2}{2}$

Вынесем $t_{пол}$ за скобки:

$t_{пол} \left( v_{0y} - \frac{gt_{пол}}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_{пол} = 0$ (момент броска) и второе, которое мы ищем:

$v_{0y} - \frac{gt_{пол}}{2} = 0$

Выразим отсюда полное время полёта:

$t_{пол} = \frac{2v_{0y}}{g}$

Теперь сравним полученные выражения для $t_{пол}$ и $t_{под}$:

$t_{пол} = 2 \cdot \left(\frac{v_{0y}}{g}\right)$

Так как $t_{под} = \frac{v_{0y}}{g}$, то получаем:

$t_{пол} = 2 \cdot t_{под}$

Это означает, что время всего полёта в два раза больше времени подъёма до высшей точки траектории, поскольку время подъёма равно времени падения ($t_{под} = t_{пад}$).

Ответ: Полное время полёта тела $t_{пол}$ в два раза больше времени подъёма $t_{под}$ до верхней точки траектории при условии, что тело возвращается на начальную высоту и сопротивление воздуха пренебрежимо мало: $t_{пол} = 2t_{под}$.