Номер 28, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 28, страница 44.

Условие.

28. Выведите формулы, выражающие зависимость координат тела $\text{x}$ и $\text{y}$ от времени.

Решение 2.

Решение

Для вывода формул, выражающих зависимость координат тела от времени, рассмотрим наиболее общий случай равноускоренного движения в плоскости Oxy. Равноускоренное движение — это движение с постоянным вектором ускорения $ \vec{a} = \text{const} $.

По определению, ускорение является производной от скорости по времени, а скорость — производной от радиус-вектора (положения) по времени:

$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $
$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} $

Чтобы найти зависимость скорости от времени $ \vec{v}(t) $, проинтегрируем первое уравнение:

$ d\vec{v} = \vec{a} dt $

$ \vec{v}(t) = \int \vec{a} dt = \vec{a} \int dt = \vec{a}t + \vec{C}_1 $

Постоянная интегрирования $ \vec{C}_1 $ находится из начальных условий. В момент времени $ t=0 $ скорость тела равна начальной скорости $ \vec{v}(0) = \vec{v}_0 $. Подставляя это в уравнение, получаем:

$ \vec{v}_0 = \vec{a} \cdot 0 + \vec{C}_1 \implies \vec{C}_1 = \vec{v}_0 $

Таким образом, закон изменения скорости:

$ \vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t $

Теперь, чтобы найти зависимость положения тела (его радиус-вектора) от времени $ \vec{r}(t) $, подставим полученное выражение для скорости во второе определение и проинтегрируем его:

$ d\vec{r} = \vec{v}(t) dt = (\vec{v}_0 + \vec{a}t) dt $

$ \vec{r}(t) = \int (\vec{v}_0 + \vec{a}t) dt = \vec{v}_0 \int dt + \vec{a} \int t dt = \vec{v}_0t + \frac{\vec{a}t^2}{2} + \vec{C}_2 $

Постоянная интегрирования $ \vec{C}_2 $ также находится из начальных условий. В момент времени $ t=0 $ положение тела задается начальным радиус-вектором $ \vec{r}(0) = \vec{r}_0 $. Подставляя это в уравнение, получаем:

$ \vec{r}_0 = \vec{v}_0 \cdot 0 + \frac{\vec{a} \cdot 0^2}{2} + \vec{C}_2 \implies \vec{C}_2 = \vec{r}_0 $

Таким образом, закон движения тела в векторной форме:

$ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t + \frac{\vec{a}t^2}{2} $

Это уравнение описывает положение тела в любой момент времени. Чтобы получить искомые формулы для координат $ x $ и $ y $, спроецируем это векторное уравнение на оси координат Ox и Oy. Для этого представим все векторы через их компоненты:

$ \vec{r}(t) = (x(t), y(t)) $
$ \vec{r}_0 = (x_0, y_0) $
$ \vec{v}_0 = (v_{0x}, v_{0y}) $
$ \vec{a} = (a_x, a_y) $

Векторное равенство $ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t + \frac{\vec{a}t^2}{2} $ эквивалентно двум скалярным равенствам для проекций на оси:

Проекция на ось Ox: $ x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2} $

Проекция на ось Oy: $ y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} $

Это и есть искомые формулы, выражающие зависимость координат тела $ x $ и $ y $ от времени для общего случая равноускоренного движения.

Примеры:

1. Равномерное прямолинейное движение. Ускорение отсутствует: $ \vec{a} = 0 $, то есть $ a_x = 0 $ и $ a_y = 0 $. Формулы принимают вид:
$ x(t) = x_0 + v_{0x}t $
$ y(t) = y_0 + v_{0y}t $

2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Тело движется в поле силы тяжести, ускорение $ \vec{a} = \vec{g} $. Направим ось Oy вертикально вверх, а ось Ox горизонтально. Тогда проекции ускорения: $ a_x = 0 $, $ a_y = -g $. Если в начальный момент $ t=0 $ тело находится в точке $ (x_0, y_0) $ и имеет скорость $ v_0 $, направленную под углом $ \alpha $ к горизонту ($ v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) $, $ v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) $), то законы движения для координат будут:
$ x(t) = x_0 + (v_0 \cos\alpha)t $
$ y(t) = y_0 + (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2} $

Ответ: Зависимость координат тела $ x $ и $ y $ от времени $ t $ при равноускоренном движении выражается следующими формулами:
$ x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2} $
$ y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} $
где $ (x_0, y_0) $ — начальные координаты, $ (v_{0x}, v_{0y}) $ — проекции начальной скорости, а $ (a_x, a_y) $ — проекции постоянного ускорения на оси координат.