Номер 31, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 31, страница 44.

Условие.

31. Выведите формулу для времени полёта тела $t_{\text{пол}}$ до его падения на землю.

Решение 2.

31. Для вывода формулы времени полёта тела рассмотрим общий случай движения тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту с некоторой начальной высоты.

Дано:

$v_0$ - начальная скорость тела

$\alpha$ - угол броска к горизонту

$h_0$ - начальная высота тела над землёй

$\text{g}$ - ускорение свободного падения

Найти:

$t_{пол}$ - время полёта тела

Решение:

Выберем систему координат, в которой ось OY направлена вертикально вверх, а начало отсчета (O) расположено на поверхности земли непосредственно под точкой броска. В этом случае начальная координата тела по вертикали равна $y_0 = h_0$.

Движение тела по вертикали является равноускоренным с ускорением $a_y = -g$ (знак "минус" указывает, что ускорение направлено вниз, против выбранной оси OY). Уравнение зависимости вертикальной координаты $\text{y}$ от времени $\text{t}$ имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

Здесь $y_0 = h_0$ - начальная высота, а $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ - проекция начальной скорости на вертикальную ось OY. Подставив эти значения в уравнение, получим:

$y(t) = h_0 + v_0 \sin(\alpha)t - \frac{g t^2}{2}$

Полет тела заканчивается, когда оно достигает земли, то есть когда его вертикальная координата становится равной нулю: $y(t_{пол}) = 0$. Подставим это условие в уравнение движения:

$h_0 + v_0 \sin(\alpha)t_{пол} - \frac{g t_{пол}^2}{2} = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно времени полёта $t_{пол}$. Запишем его в стандартной форме $at^2 + bt + c = 0$:

$\frac{g}{2}t_{пол}^2 - (v_0 \sin(\alpha))t_{пол} - h_0 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a = \frac{g}{2}$, $b = -v_0 \sin(\alpha)$, $c = -h_0$.

$t_{пол} = \frac{-(-v_0 \sin(\alpha)) \pm \sqrt{(-v_0 \sin(\alpha))^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot (-h_0)}}{2 \cdot \frac{g}{2}}$

$t_{пол} = \frac{v_0 \sin(\alpha) \pm \sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gh_0}}{g}$

Уравнение имеет два корня. Поскольку время полета $t_{пол}$ должно быть положительной величиной, необходимо выбрать корень, который имеет физический смысл. Выражение под корнем $\sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gh_0}$ всегда больше или равно $|v_0 \sin(\alpha)|$. Поэтому, если мы выберем знак "минус" перед корнем, результат будет отрицательным (или нулевым), что не соответствует физической задаче. Следовательно, физически осмысленным решением является корень со знаком "плюс".

Таким образом, формула для времени полёта тела до его падения на землю имеет вид:

$t_{пол} = \frac{v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gh_0}}{g}$

Ответ: $t_{пол} = \frac{v_0 \sin(\alpha) + \sqrt{v_0^2 \sin^2(\alpha) + 2gh_0}}{g}$