Номер 36, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 36, страница 45.

Условие.

36. Выведите уравнение траектории $y(x)$ для тела, брошенного горизонтально.

Решив предыдущую задачу, вы обнаружите, что уравнение траектории тела, брошенного горизонтально, — это уравнение параболы, вершина которой совпадает с начальным положением тела (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость тела направлена горизонтально: $\vec{v}_0$.

Начальные координаты: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$.

Проекции начальной скорости на оси: $v_{0x} = v_0$, $v_{0y} = 0$.

Ускорение свободного падения: $\vec{g}$.

Проекции ускорения на оси (согласно рисунку, где ось $\text{y}$ направлена вниз): $a_x = 0$, $a_y = g$.

Найти:

Уравнение траектории $y(x)$.

Решение:

Движение тела, брошенного горизонтально, можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренного движения (свободного падения) вдоль вертикальной оси (Oy).

Запишем кинематические уравнения движения для каждой из осей в зависимости от времени $\text{t}$.

1. Движение вдоль оси Ox (равномерное, так как $a_x = 0$):

$x(t) = x_0 + v_{0x}t = 0 + v_0 t = v_0 t$

2. Движение вдоль оси Oy (равноускоренное с нулевой начальной скоростью, так как $v_{0y} = 0$):

Ось Oy направлена вертикально вниз, поэтому проекция ускорения свободного падения на эту ось положительна: $a_y = g$.

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = 0 + 0 \cdot t + \frac{gt^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$

Мы получили систему уравнений, описывающих координаты тела в любой момент времени $\text{t}$:

$\begin{cases} x = v_0 t \\ y = \frac{gt^2}{2} \end{cases}$

Чтобы получить уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить из этой системы время $\text{t}$. Для этого выразим время из первого уравнения:

$t = \frac{x}{v_0}$

Теперь подставим полученное выражение для $\text{t}$ во второе уравнение:

$y = \frac{g}{2} \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{g}{2} \frac{x^2}{v_0^2}$

Сгруппировав постоянные величины, получим окончательное уравнение траектории:

$y(x) = \frac{g}{2v_0^2}x^2$

Это уравнение вида $y = kx^2$, где $k = \frac{g}{2v_0^2}$ — константа. Оно описывает параболу, ветви которой направлены по направлению оси Oy (вниз), а вершина находится в начале координат (0, 0), что соответствует начальному положению тела.

Ответ: $y(x) = \frac{g}{2v_0^2}x^2$.