Номер 42, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 42, страница 46.

Условие.

42. Докажите, что уравнением траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту, является уравнение параболы, проходящей через начало координат.

Решение 2.

Решение

Рассмотрим движение тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Для описания движения введем систему координат: начало координат $(0, 0)$ в точке броска, ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ — вертикально вверх. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Движение тела можно разложить на два независимых движения:

1. Равномерное движение вдоль горизонтальной оси $OX$ со скоростью $v_x = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$.

2. Равноускоренное движение вдоль вертикальной оси $OY$ с начальной скоростью $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ и ускорением $a_y = -g$.

Запишем уравнения зависимости координат тела от времени $\text{t}$:

$x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos(\alpha)) t$ (1)

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = 0 + (v_0 \sin(\alpha)) t - \frac{g t^2}{2}$ (2)

Уравнение траектории представляет собой зависимость $y(x)$. Чтобы его получить, необходимо исключить из системы уравнений (1) и (2) время $\text{t}$.

Из уравнения (1) выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)}$

Подставим это выражение для $\text{t}$ в уравнение (2):

$y(x) = (v_0 \sin(\alpha)) \left( \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)} \right)^2$

Упростим полученное уравнение:

$y(x) = x \cdot \frac{v_0 \sin(\alpha)}{v_0 \cos(\alpha)} - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)}$

Используя тригонометрическое тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем:

$y(x) = (\tan(\alpha)) x - \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} \right) x^2$

Данное уравнение является уравнением вида $y = ax + bx^2$, где коэффициенты $a = \tan(\alpha)$ и $b = - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)}$ — постоянные величины для заданных начальных условий. Это каноническое уравнение параболы. Поскольку коэффициент $\text{b}$ отрицателен ($g > 0$, $v_0^2 > 0$, $\cos^2(\alpha) > 0$), ветви параболы направлены вниз.

Теперь докажем, что эта парабола проходит через начало координат. Для этого подставим в полученное уравнение координаты начала координат, то есть $x=0$:

$y(0) = (\tan(\alpha)) \cdot 0 - \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} \right) \cdot 0^2 = 0 - 0 = 0$

Так как при $x=0$ мы получили $y=0$, точка $(0, 0)$ принадлежит графику функции, а значит, траектория движения тела проходит через начало координат.

Ответ: Уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту, имеет вид $y(x) = (\tan(\alpha)) x - \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} \right) x^2$. Это является уравнением параболы, которая проходит через начало координат, что и требовалось доказать.