Номер 40, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 40, страница 45.

Условие.

40. Выведите формулы, выражающие зависимость координат $\text{x}$ и $\text{y}$ тела от времени.

Решение 2.

Зависимость координат тела от времени, или закон движения, можно получить, зная начальные условия (начальное положение и начальную скорость) и ускорение тела. Рассмотрим наиболее общий случай, изучаемый в кинематике, — движение с постоянным ускорением в двумерной декартовой системе координат. Для вывода формул будем использовать основные определения скорости и ускорения через производные и операцию интегрирования.

Решение

По определению, вектор скорости $\vec{v}$ является первой производной радиус-вектора $\vec{r}$ по времени $\text{t}$, а вектор ускорения $\vec{a}$ — первой производной вектора скорости по времени $\text{t}$.

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$

$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}$

Рассмотрим движение с постоянным ускорением, то есть $\vec{a} = \text{const}$.

1. Нахождение зависимости скорости от времени

Из определения ускорения $d\vec{v} = \vec{a}dt$. Чтобы найти зависимость скорости от времени, проинтегрируем это выражение от начального момента времени $t=0$ (когда скорость равна $\vec{v_0}$) до произвольного момента времени $\text{t}$ (когда скорость равна $\vec{v}(t)$):

$\int_{\vec{v_0}}^{\vec{v}(t)} d\vec{v} = \int_{0}^{t} \vec{a}dt$

Так как ускорение $\vec{a}$ постоянно, его можно вынести за знак интеграла:

$\vec{v}(t) - \vec{v_0} = \vec{a} \int_{0}^{t} dt = \vec{a}t$

Отсюда получаем векторное уравнение для скорости:

$\vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a}t$

2. Нахождение зависимости координат от времени

Теперь, используя определение скорости $d\vec{r} = \vec{v}dt$ и полученное выражение для $\vec{v}(t)$, найдем зависимость радиус-вектора (и, следовательно, координат) от времени.

$d\vec{r} = (\vec{v_0} + \vec{a}t)dt$

Интегрируем это выражение от начального момента $t=0$ (когда радиус-вектор равен $\vec{r_0}$) до момента $\text{t}$ (когда радиус-вектор равен $\vec{r}(t)$):

$\int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}(t)} d\vec{r} = \int_{0}^{t} (\vec{v_0} + \vec{a}t)dt$

$\vec{r}(t) - \vec{r_0} = \int_{0}^{t} \vec{v_0}dt + \int_{0}^{t} \vec{a}t dt$

Так как начальная скорость $\vec{v_0}$ и ускорение $\vec{a}$ постоянны, выносим их за знаки интегралов:

$\vec{r}(t) - \vec{r_0} = \vec{v_0} \int_{0}^{t} dt + \vec{a} \int_{0}^{t} t dt = \vec{v_0}[t]_0^t + \vec{a}[\frac{t^2}{2}]_0^t$

$\vec{r}(t) - \vec{r_0} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$

Таким образом, векторное уравнение движения тела имеет вид:

$\vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$

3. Проекции на оси координат X и Y

Чтобы получить искомые формулы для координат $\text{x}$ и $\text{y}$, представим все векторы в уравнении через их проекции на оси координат $Ox$ и $Oy$.

Радиус-вектор в момент времени $\text{t}$: $\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$.
Начальный радиус-вектор: $\vec{r_0} = x_0\vec{i} + y_0\vec{j}$.
Вектор начальной скорости: $\vec{v_0} = v_{0x}\vec{i} + v_{0y}\vec{j}$.
Вектор ускорения: $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j}$.

Подставим эти выражения в векторное уравнение движения:

$x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} = (x_0\vec{i} + y_0\vec{j}) + (v_{0x}\vec{i} + v_{0y}\vec{j})t + \frac{(a_x\vec{i} + a_y\vec{j})t^2}{2}$

Сгруппируем слагаемые при единичных векторах $\vec{i}$ (для оси $Ox$) и $\vec{j}$ (для оси $Oy$):

$x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} = (x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2})\vec{i} + (y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2})\vec{j}$

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты. Приравнивая коэффициенты при $\vec{i}$ и $\vec{j}$ в левой и правой частях, получаем уравнения для координат $\text{x}$ и $\text{y}$:

Для координаты $\text{x}$: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Для координаты $\text{y}$: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

Это и есть искомые формулы, выражающие зависимость координат тела от времени при равноускоренном движении.

Ответ:

В общем случае для движения тела с постоянным ускорением зависимости координат $\text{x}$ и $\text{y}$ от времени $\text{t}$ выражаются следующими формулами:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

где $x_0, y_0$ — начальные координаты тела в момент времени $t=0$; $v_{0x}, v_{0y}$ — проекции начальной скорости на оси координат; $a_x, a_y$ — проекции постоянного ускорения на оси координат.