Номер 43, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 43, страница 46.

Условие.

43. Почему струя воды, бьющая под углом к горизонту, имеет форму параболы (рис. 4.6)?

Рис. 4.6

Решение 2.

Траектория струи воды, бьющей под углом к горизонту, представляет собой параболу. Это объясняется законами движения тел в поле тяготения Земли. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то на каждую частицу воды после того, как она покинула источник, действует только одна сила — сила тяжести, направленная вертикально вниз. Движение каждой частицы можно разложить на два независимых движения: горизонтальное и вертикальное.

1. Горизонтальное движение: Так как в горизонтальном направлении никакие силы не действуют (сопротивление воздуха не учитывается), горизонтальная составляющая скорости частицы остается постоянной. Поэтому по горизонтали частица движется равномерно.

2. Вертикальное движение: В вертикальном направлении на частицу действует постоянная сила тяжести, которая сообщает ей постоянное ускорение свободного падения $\text{g}$, направленное вниз. Такое движение является равноускоренным (точнее, равнозамедленным при подъеме и равноускоренным при падении).

Сочетание равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения по вертикали и дает в результате траекторию в форме параболы. Поскольку струя состоит из множества таких частиц, вылетающих непрерывно, она принимает параболическую форму.

Решение

Для математического доказательства введем систему координат. Пусть начало координат $(0,0)$ находится в точке вылета струи, ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ — вертикально вверх. Пусть начальная скорость воды равна $v_0$, а угол вылета к горизонту — $\alpha$.

Разложим начальную скорость на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Ускорение, действующее на частицу воды, имеет только вертикальную составляющую, равную ускорению свободного падения $\text{g}$ и направленную вниз: $a_x=0$, $a_y=-g$.

Тогда зависимость координат частицы от времени $\text{t}$ будет описываться следующими уравнениями (законами движения):

Для горизонтальной оси (равномерное движение): $x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos\alpha) t$

Для вертикальной оси (равноускоренное движение): $y(t) = v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Чтобы получить уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $\text{t}$ из этих двух уравнений. Из первого уравнения выразим время:

$t = \frac{x}{v_0 \cos\alpha}$

Теперь подставим это выражение для $\text{t}$ во второе уравнение:

$y(x) = (v_0 \sin\alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos\alpha} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \cos\alpha} \right)^2$

Упростим полученное выражение:

$y(x) = x \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} \cdot x^2$

Так как $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, уравнение траектории принимает вид:

$y(x) = (\tan\alpha)x - \left(\frac{g}{2v_0^2 \cos^2\alpha}\right)x^2$

Это уравнение вида $y = Ax - Bx^2$, где $A = \tan\alpha$ и $B = \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\alpha}$ — постоянные положительные коэффициенты (для $0 < \alpha < 90^\circ$). Такое уравнение является каноническим уравнением параболы, ветви которой направлены вниз. Таким образом, форма траектории струи воды является параболой.

Ответ: Струя воды, бьющая под углом к горизонту, имеет форму параболы, потому что движение каждой частицы воды является результатом сложения двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения по горизонтали (в отсутствие сопротивления воздуха) и равноускоренного движения по вертикали под действием постоянной силы тяжести. Математическое описание такой траектории представляет собой квадратное уравнение вида $y(x) = ax - bx^2$, которое является уравнением параболы.