Номер 50, страница 47, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 50, страница 47.

Условие.

50. Посылая ударами ноги лежащий на земле мяч в полёт с одной и той же по модулю начальной скоростью, но под разными углами к горизонту, футболист обнаружил, что мяч падает на землю не далее 40 м от его начального положения. На какую максимальную высоту мог подниматься мяч при ударах? Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Максимальная дальность полета мяча $L_{max} = 40$ м.

Найти:

Максимальную высоту подъема мяча $H_{max}$?

Решение:

Движение мяча можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дальность полета $\text{L}$ и максимальная высота подъема $\text{H}$ для тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, определяются формулами (при условии, что сопротивлением воздуха можно пренебречь):

Дальность полета: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота подъема: $H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

По условию, начальная скорость $v_0$ по модулю одинакова при всех ударах. Дальность полета $\text{L}$ зависит от угла броска $\alpha$. Максимальная дальность полета $L_{max}$ достигается при угле $\alpha = 45^\circ$, так как при этом значении $\sin(2\alpha)$ достигает своего максимального значения, равного 1.

Таким образом, мы можем записать:

$L_{max} = \frac{v_0^2 \sin(2 \cdot 45^\circ)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(90^\circ)}{g} = \frac{v_0^2}{g}$

Из условия задачи известно, что $L_{max} = 40$ м. Следовательно:

$\frac{v_0^2}{g} = 40$ м

Теперь рассмотрим максимальную высоту подъема $\text{H}$. Она также зависит от угла броска $\alpha$. Чтобы найти максимальную высоту, на которую *мог* подняться мяч, нужно найти максимальное значение $\text{H}$ при изменении угла $\alpha$ и той же начальной скорости $v_0$.

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Высота $\text{H}$ будет максимальной, когда $\sin^2(\alpha)$ будет максимальным. Максимальное значение $\sin^2(\alpha)$ равно 1, что достигается при $\alpha = 90^\circ$ (вертикальный бросок).

Найдем эту максимально возможную высоту $H_{max}$:

$H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(90^\circ)}{2g} = \frac{v_0^2 \cdot 1}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

Мы уже нашли, что $\frac{v_0^2}{g} = 40$ м. Подставим это значение в выражение для $H_{max}$:

$H_{max} = \frac{1}{2} \left( \frac{v_0^2}{g} \right) = \frac{1}{2} \cdot L_{max}$

$H_{max} = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ м} = 20 \text{ м}$

Таким образом, максимальная высота, на которую мог подниматься мяч, составляет 20 метров.

Ответ: 20 м.