Номер 51, страница 47, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 51, страница 47.

Условие.

51. Тело, свободно падающее с некоторой высоты без начальной скорости, пролетело последний участок пути длиной $\text{l}$ за промежуток времени $\text{t}$.

а) Что ещё известно о движении тела на последнем этапе?

б) Запишите систему уравнений, справедливую для последнего этапа падения. Обозначьте для этого $v_{\text{к}}$ конечную скорость тела (непосредственно перед касанием земли), а $v_{1}$ — скорость тела в момент, когда ему осталось пролететь до земли расстояние $\text{l}$.

в) Используя записанную систему уравнений, получите одно уравнение с одним неизвестным — конечной скоростью $v_{\text{к}}$.

г) Выразите конечную скорость тела $v_{\text{к}}$ через величины, данные в описании ситуации.

Найдя конечную скорость тела при падении, мы легко сможем найти любые величины, относящиеся к падению тела: например, его начальную высоту, время падения или, скажем, скорость тела в момент, когда оно пролетело половину пути.

д) Выразите начальную высоту тела $\text{h}$ через величины, данные в описании ситуации.

Обратите внимание: мы не искали сразу ответ на поставленный вопрос, а сами ставили вопросы, раскрывая информацию, скрытую в описании ситуации. И это позволило довольно быстро узнать об этой ситуации всё!

Решение 2.

Дано:

Тело, свободно падающее без начальной скорости ($v_0 = 0$).

Длина последнего участка пути: $\text{l}$

Время прохождения последнего участка: $\text{t}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

а) Дополнительные сведения о движении на последнем этапе.

б) Систему уравнений для последнего этапа.

в) Уравнение с одним неизвестным $v_к$.

г) Конечную скорость $v_к$.

д) Начальную высоту $\text{h}$.

Решение:

а) Что ещё известно о движении тела на последнем этапе?

Поскольку тело находится в свободном падении, его движение является прямолинейным и равноускоренным. Ускорение тела постоянно, направлено вертикально вниз и равно ускорению свободного падения $\text{g}$. Это справедливо для любого этапа движения, включая последний.

Ответ: Движение на последнем этапе является равноускоренным с постоянным ускорением $\text{g}$.

б) Запишите систему уравнений, справедливую для последнего этапа падения. Обозначьте для этого $v_к$ конечную скорость тела (непосредственно перед касанием земли), а $v_1$ — скорость тела в момент, когда ему осталось пролететь до земли расстояние $\text{l}$.

Для последнего участка пути длиной $\text{l}$, пройденного за время $\text{t}$, начальная скорость равна $v_1$, а конечная — $v_к$. Используя формулы для равноускоренного движения (выбрав ось OY, направленную вниз), можно записать:

1. Уравнение скорости: $v_к = v_1 + gt$

2. Уравнение перемещения: $l = v_1 t + \frac{gt^2}{2}$

Эти два уравнения составляют систему, описывающую движение на последнем этапе.

Ответ: Система уравнений: $ \begin{cases} v_к = v_1 + gt \\ l = v_1t + \frac{gt^2}{2} \end{cases} $

в) Используя записанную систему уравнений, получите одно уравнение с одним неизвестным — конечной скоростью $v_к$.

Для получения одного уравнения с неизвестной $v_к$ необходимо исключить из системы скорость $v_1$. Из первого уравнения системы выразим $v_1$:

$v_1 = v_к - gt$

Теперь подставим полученное выражение для $v_1$ во второе уравнение системы:

$l = (v_к - gt)t + \frac{gt^2}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$l = v_кt - gt^2 + \frac{gt^2}{2}$

$l = v_кt - \frac{gt^2}{2}$

Полученное уравнение связывает известные величины $\text{l}$, $\text{t}$, $\text{g}$ и единственную неизвестную — конечную скорость $v_к$.

Ответ: Уравнение с одним неизвестным $v_к$: $l = v_кt - \frac{gt^2}{2}$.

г) Выразите конечную скорость тела $v_к$ через величины, данные в описании ситуации.

Из уравнения, полученного в предыдущем пункте, выразим $v_к$.

$l = v_кt - \frac{gt^2}{2}$

Перенесем член с $\text{g}$ в левую часть уравнения:

$v_кt = l + \frac{gt^2}{2}$

Разделим обе части на $\text{t}$:

$v_к = \frac{l}{t} + \frac{gt^2}{2t}$

$v_к = \frac{l}{t} + \frac{gt}{2}$

Ответ: $v_к = \frac{l}{t} + \frac{gt}{2}$.

д) Выразите начальную высоту тела $\text{h}$ через величины, данные в описании ситуации.

Рассмотрим весь процесс падения тела с высоты $\text{h}$. Начальная скорость тела $v_0 = 0$. Конечная скорость перед самым касанием земли равна $v_к$. Для равноускоренного движения без начальной скорости справедлива формула, связывающая высоту, конечную скорость и ускорение:

$v_к^2 - v_0^2 = 2gh$

Поскольку $v_0 = 0$, то $v_к^2 = 2gh$.

Отсюда выражаем начальную высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_к^2}{2g}$

Подставим в это выражение формулу для $v_к$, полученную в пункте (г):

$h = \frac{1}{2g} \left( \frac{l}{t} + \frac{gt}{2} \right)^2$

Ответ: $h = \frac{1}{2g} \left( \frac{l}{t} + \frac{gt}{2} \right)^2$.