Номер 55, страница 49, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 55, страница 49.

Условие.

55. Дальность полёта $\text{l}$ двух тел, брошенных под различными углами к горизонту с одинаковой по модулю начальной скоростью, равна 60 м. Один угол бросания больше другого на $48^{\circ}$.

а) Чему равны углы бросания?

б) Чему равна начальная скорость тел?

в) На какое максимальное расстояние можно бросить тело с той же по модулю начальной скоростью?

г) На какую максимальную высоту можно бросить тело с той же по модулю начальной скоростью?

Решение 2.

Дано:

$l = 60$ м

$\alpha_2 - \alpha_1 = 48^\circ$

$v_{01} = v_{02} = v_0$

В расчетах примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

а) $\alpha_1, \alpha_2$ - ?

б) $v_0$ - ?

в) $l_{max}$ - ?

г) $H_{max}$ - ?

Решение:

а) Чему равны углы бросания?

Дальность полета тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$, определяется формулой (без учета сопротивления воздуха): $l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

По условию, дальность полета $\text{l}$ и начальная скорость $v_0$ для двух тел одинаковы, а углы бросания $\alpha_1$ и $\alpha_2$ различны. Равенство дальностей полета $l_1 = l_2$ означает, что $\frac{v_0^2 \sin(2\alpha_1)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha_2)}{g}$, откуда следует $\sin(2\alpha_1) = \sin(2\alpha_2)$.

Так как углы по условию различны ($\alpha_1 \neq \alpha_2$), это тригонометрическое равенство выполняется, если сумма аргументов синусов равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). То есть, $2\alpha_1 + 2\alpha_2 = 180^\circ$, что упрощается до $\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$.

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \alpha_2 - \alpha_1 = 48^\circ \\ \alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $(\alpha_2 - \alpha_1) + (\alpha_1 + \alpha_2) = 48^\circ + 90^\circ$, что дает $2\alpha_2 = 138^\circ$. Отсюда находим $\alpha_2 = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ$.

Подставим найденное значение $\alpha_2$ во второе уравнение: $\alpha_1 + 69^\circ = 90^\circ$, откуда $\alpha_1 = 90^\circ - 69^\circ = 21^\circ$.

Ответ: Углы бросания равны $21^\circ$ и $69^\circ$.

б) Чему равна начальная скорость тел?

Воспользуемся формулой дальности полета, подставив в нее значение одного из углов, например, $\alpha_1 = 21^\circ$:

$l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha_1)}{g}$

Из этой формулы выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = \frac{l \cdot g}{\sin(2\alpha_1)} \implies v_0 = \sqrt{\frac{l \cdot g}{\sin(2\alpha_1)}}$

Подставим числовые значения: $l = 60$ м, $g = 9.8 \text{ м/с}^2$, $\alpha_1 = 21^\circ$.

$v_0 = \sqrt{\frac{60 \cdot 9.8}{\sin(2 \cdot 21^\circ)}} = \sqrt{\frac{588}{\sin(42^\circ)}} \approx \sqrt{\frac{588}{0.6691}} \approx \sqrt{878.79} \approx 29.64 \text{ м/с}$.

Ответ: Начальная скорость тел равна примерно $29.64$ м/с.

в) На какое максимальное расстояние можно бросить тело с той же по модулю начальной скоростью?

Максимальная дальность полета $l_{max}$ для заданной начальной скорости $v_0$ достигается при угле бросания $\alpha = 45^\circ$.

Формула для максимальной дальности: $l_{max} = \frac{v_0^2 \sin(2 \cdot 45^\circ)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(90^\circ)}{g} = \frac{v_0^2}{g}$.

Из пункта б) мы знаем, что $v_0^2 = \frac{l \cdot g}{\sin(2\alpha_1)}$. Подставим это выражение в формулу для $l_{max}$:

$l_{max} = \frac{1}{g} \cdot \left(\frac{l \cdot g}{\sin(2\alpha_1)}\right) = \frac{l}{\sin(2\alpha_1)}$.

Подставим числовые значения:

$l_{max} = \frac{60}{\sin(42^\circ)} \approx \frac{60}{0.6691} \approx 89.67 \text{ м}$.

Ответ: Максимальное расстояние, на которое можно бросить тело, составляет примерно $89.67$ м.

г) На какую максимальную высоту можно бросить тело с той же по модулю начальной скоростью?

Максимально возможная высота подъема $H_{max}$ при заданной начальной скорости $v_0$ достигается при броске вертикально вверх, то есть под углом $\alpha = 90^\circ$ к горизонту.

Формула для высоты подъема: $H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$.

При $\alpha = 90^\circ$, $\sin(\alpha)=1$, и формула принимает вид: $H_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$.

Используя значение $v_0^2 \approx 878.79 \text{ (м/с)}^2$ из пункта б), получаем:

$H_{max} \approx \frac{878.79}{2 \cdot 9.8} = \frac{878.79}{19.6} \approx 44.84 \text{ м}$.

Заметим, что $H_{max} = \frac{l_{max}}{2}$.

Ответ: Максимальная высота, на которую можно бросить тело, составляет примерно $44.84$ м.