Номер 58, страница 50, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 58, страница 50.

Условие.

58. С поверхности земли бросили камешек вертикально вверх со скоростью 20 м/с.

а) На какую высоту поднимется камешек и сколько времени будет длиться подъём?

б) Сколько времени камешек будет находиться в полёте?

в) Чему будет равен модуль скорости камешка: через 3 с после начала движения; непосредственно перед ударом о землю?

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 20$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

а) Максимальная высота подъема $h_{max}$ и время подъема $t_{подъема}$

б) Общее время полета $t_{полета}$

в) Модуль скорости $|v_1|$ через $t_1 = 3$ с; модуль скорости $|v_2|$ перед ударом о землю

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с поверхностью земли, с осью OY, направленной вертикально вверх. Тогда начальная координата $y_0 = 0$, проекция начальной скорости на ось OY $v_{0y} = v_0 = 20$ м/с, а проекция ускорения свободного падения $a_y = -g = -10$ м/с².

а) На какую высоту поднимется камешек и сколько времени будет длиться подъём?

В верхней точке траектории (на максимальной высоте) скорость камешка становится равной нулю ($v_y = 0$). Время подъема можно найти из уравнения скорости для равноускоренного движения:

$v_y = v_{0y} + a_y t$

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Отсюда время подъема:

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g} = \frac{20 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 2$ с

Максимальную высоту подъема $h_{max}$ можно найти, используя формулу для перемещения:

$h_{max} = y(t_{подъема}) = v_0 t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2}$

$h_{max} = 20 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} - \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (2 \text{ с})^2}{2} = 40 \text{ м} - \frac{10 \cdot 4}{2} \text{ м} = 40 \text{ м} - 20 \text{ м} = 20$ м

Также можно использовать формулу, не содержащую время:

$h_{max} = \frac{v_0^2 - v_y^2}{2g} = \frac{(20 \text{ м/с})^2 - 0^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{400}{20} \text{ м} = 20$ м

Ответ: Камешек поднимется на высоту 20 м, подъём будет длиться 2 с.

б) Сколько времени камешек будет находиться в полёте?

Поскольку движение симметрично (сопротивление воздуха не учитывается), время падения с максимальной высоты равно времени подъема: $t_{падения} = t_{подъема} = 2$ с.

Общее время полета равно сумме времени подъема и времени падения:

$t_{полета} = t_{подъема} + t_{падения} = 2 \text{ с} + 2 \text{ с} = 4$ с

Либо можно найти это время из уравнения координаты, приравняв конечную координату к нулю (камешек вернулся на землю):

$y(t_{полета}) = v_0 t_{полета} - \frac{g t_{полета}^2}{2} = 0$

$t_{полета} (v_0 - \frac{g t_{полета}}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t = 0$ (начало движения) и $v_0 - \frac{g t_{полета}}{2} = 0$. Из второго находим:

$t_{полета} = \frac{2v_0}{g} = \frac{2 \cdot 20 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 4$ с

Ответ: Камешек будет находиться в полёте 4 с.

в) Чему будет равен модуль скорости камешка: через 3 с после начала движения; непосредственно перед ударом о землю?

Скорость камешка в любой момент времени $\text{t}$ определяется формулой:

$v(t) = v_0 - gt$

1. Скорость через $t_1 = 3$ с после начала движения:

$v(3) = 20 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с} = 20 \text{ м/с} - 30 \text{ м/с} = -10$ м/с

Знак "минус" означает, что камешек движется вниз. Модуль скорости (скорость по величине) равен:

$|v(3)| = |-10 \text{ м/с}| = 10$ м/с

2. Скорость непосредственно перед ударом о землю. Это произойдет в момент времени $t = t_{полета} = 4$ с.

$v(4) = 20 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}^2 \cdot 4 \text{ с} = 20 \text{ м/с} - 40 \text{ м/с} = -20$ м/с

Модуль скорости равен:

$|v(4)| = |-20 \text{ м/с}| = 20$ м/с

Ответ: Через 3 с после начала движения модуль скорости будет равен 10 м/с; непосредственно перед ударом о землю модуль скорости будет равен 20 м/с.