Номер 53, страница 48, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Движение с ускорением свободного падения - номер 53, страница 48.

Условие.

53. Свободно падающее без начальной скорости тело пролетело за последнюю секунду падения в 2 раза большее расстояние, чем за предпоследнюю секунду.

а) Сколько времени падало тело?

б) Чему была равна скорость тела непосредственно перед падением на землю?

в) С какой высоты падало тело?

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 0 \, \text{м/с}$

$\Delta h_{n} = 2 \Delta h_{n-1}$ (где $\Delta h_{n}$ - расстояние за последнюю секунду, $\Delta h_{n-1}$ - за предпоследнюю)

$g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

a) $\text{t}$ - ?

б) $v_f$ - ?

в) $\text{H}$ - ?

Решение:

а) Сколько времени падало тело?

Движение тела является свободным падением, то есть равноускоренным движением с ускорением $\text{g}$ и без начальной скорости $v_0 = 0$.

Расстояние, пройденное телом за время $t'$, определяется по формуле: $h(t') = \frac{gt'^2}{2}$.

Пусть общее время падения тела равно $\text{t}$.

Тогда последняя секунда падения соответствует временному интервалу от $(t-1)$ до $\text{t}$. Расстояние, пройденное за эту секунду, равно:

$\Delta h_{last} = h(t) - h(t-1) = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t-1)^2}{2}$

$\Delta h_{last} = \frac{g}{2} (t^2 - (t^2 - 2t + 1)) = \frac{g}{2} (2t - 1)$

Предпоследняя секунда падения соответствует временному интервалу от $(t-2)$ до $(t-1)$. Расстояние, пройденное за эту секунду, равно:

$\Delta h_{penultimate} = h(t-1) - h(t-2) = \frac{g(t-1)^2}{2} - \frac{g(t-2)^2}{2}$

$\Delta h_{penultimate} = \frac{g}{2} ((t^2 - 2t + 1) - (t^2 - 4t + 4)) = \frac{g}{2} (2t - 3)$

Согласно условию задачи, расстояние за последнюю секунду в 2 раза больше, чем за предпоследнюю:

$\Delta h_{last} = 2 \cdot \Delta h_{penultimate}$

$\frac{g}{2}(2t - 1) = 2 \cdot \frac{g}{2}(2t - 3)$

Сократим $\frac{g}{2}$ в обеих частях уравнения:

$2t - 1 = 2(2t - 3)$

$2t - 1 = 4t - 6$

$4t - 2t = 6 - 1$

$2t = 5$

$t = 2.5 \, \text{с}$

Ответ: время падения тела равно 2.5 с.

б) Чему была равна скорость тела непосредственно перед падением на землю?

Скорость тела при свободном падении без начальной скорости находится по формуле: $v = gt$.

Скорость непосредственно перед падением (в момент времени $t = 2.5 \, \text{с}$) равна:

$v_f = g \cdot t = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 2.5 \, \text{с} = 24.5 \, \text{м/с}$

Ответ: скорость тела непосредственно перед падением на землю была равна 24.5 м/с.

в) С какой высоты падало тело?

Высота, с которой падало тело, равна общему расстоянию, пройденному за все время падения $\text{t}$.

$H = h(t) = \frac{gt^2}{2}$

Подставим найденное значение времени $t = 2.5 \, \text{с}$:

$H = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot (2.5 \, \text{с})^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 6.25}{2} = 4.9 \cdot 6.25 = 30.625 \, \text{м}$

Ответ: тело падало с высоты 30.625 м.